ПОЧТИ КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА

- поле I линейных преобразований касательных пространств на многообразии М, удовлетворяющее условию : I² = -id, т. е. поле комплексных структур в касательных пространствах . П. к. <с. I определяет разложение комплексификации касательного расслоения в прямую сумму комплексно сопряженных друг другу подрасслоений V+ и V_, состоящих из собственных векторов аффинора I (продолженного по линейности на ) с собственными значениями i и -i соответственно. Обратно, разложение в прямую сумму двух взаимно сопряженных векторных подрасслоений определяет П. к. с. на М. для которой V₊=S.

П. к. с. I наз. интегрируемой, если она индуцируется комплексной структурой на М, т. е. если существует атлас допустимых карт многообразия М, в к-рых поле I имеет постоянные координаты I^j_k,. Необходимое и достаточное условие интегрируемости П. к. с. состоит в инволютивности полрасслоения V₊ , т. е. замкнутости пространства ого сечений относительно коммутирования (комплексных) векторных полей. Условие инволютивности подрасслоения V₊ равносильно обращению в нуль ассоциированной с I векторнозначной 2-формы N(I, I), задаваемой формулой

N(I, I)( Х, Y) =[IX, IY]- I[X, IY] - I[I, XY] -I[X, Y],

где X, Y- векторные поля. Эта форма наз. тензором кручения, или тензором Нейенхейса, П. к. с. Тензор Нейенхеиса N(I, I).можно рассматривать как дифференцирование степени 1 алгебры дифференциальных форм на М, имеющее вид

N(I, I) =[I,[I, d]] + d,

где d- внешний дифференциал, а I рассматривается как дифференцирование степени 0.

С точки зрения теории G-структур П. к. с. представляет из себя - структуру, где m=¹/₂ dim M, а тензор кручения N(I, I) -тензор, определяемый первой структурной функцией этой структуры, структура является структурой эллиитич. типа, и поэтому алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. к. с. удовлетворяет эллиптич. системе дифференциальных уравнений 2-го порядка [1]. В частности, алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. к. с. на компактном многообразии конечномерна, а группа G всех автоморфизмов компактного многообразия с П. к. с. является группой Ли. Для некомпактных многообразий это, вообще говоря, не так.

Если группа автоморфизмов Gтранзитивна на многообразии М, то П. к. с. I однозначно определяется своим значением I _р в фиксированной точке , к-рое представляет из себя инвариантную относительно представления изотропии комплексную структуру в касательном пространстве Т _р М (с. <м. Инвариантный объект на однородном пространстве). Методы теории групп Ли позволяют построить широкий класс однородных пространств, обладающих инвариантной П. к. с. (как интегрируемой, так и неинтегрируемой) и при тех или иных предположениях классифицировать инвариантные П. к. с. (см. [2]). Напр., любое факторпространство G/H группы Ли Gпо подгруппе H, состоящей из неподвижных точек автоморфизма нечетного порядка группы Ли G, обладает инвариантной П. к. с. Примером является 6-мерная сфера S⁶, рассматриваемая как однородное пространство G₂/SU (3); ни одна из инвариантных П. к. с. на S⁶ не является интегрируемой.

Наличие на многообразии П. к. с. накладывает нек-рые ограничения на его топологию - оно должно быть четномерным, ориентируемым, а в компактном случае все его нечетномерные классы Штифеля - Уитни должны быть равны нулю. Среди сфер П. к. с. допускают только сферы размерностей 2 и 6. Лит.:[1] Kobayashi S., Transformation groups in differential geometry, В.-[u.a.], 1972; 12] Комраков Б. П., Структуры на многообразиях и однородные пространства, Минск, 1978; [3] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] Хермандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968. Д. В. Алексеевский.