ПОРЯДКОВАЯ СТАТИСТИКА

-член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=( Х ₁, Х ₂, ..., Х _п), принимающий значения х=( х ₁, х ₂, . . ., х _п).в n-мерном евклидовом пространстве , и пусть в задана функция , определенная по следующему правилу:

где - вектор из , полученный из вектора хв результате перестановки его координат х ₁, х ₂, ..., х _n в возрастающем порядке, т. е. компоненты x(nl), x_(n2) ,..., х ( пп) вектора удовлетворяют следующему соотношению

(1)

В этом случае статистика наз. вариационным рядом (или вектором) порядковых статистик, а ее k-я компонента X_nk(k=1, 2, ..., n) наз. k-й порядковой статистикой.

В теории П. с. наиболее полно изучен случай, когда компоненты X₁, Х ₂, ..., Х _п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределенные случайные величины, что в дальнейшем и будет предполагаться. Если F(и) - функция распределения случайной величины X_i, i=l, 2, . . ., п, то функция распределения F_nk(u) k -й П. с. Х (nk) вычисляется по формуле

(2) где

- неполная бета-функция. Из (2) следует, что если функция распределения F(и).имеет плотность вероятности f(u), то плотность вероятности f_nk (и) k- йП. с.

Х (nk), k=1,2, . . ., п, тоже существует и выражается формулой

(3)

В предположении существования плотности f (и).была получена совместная плотность вероятности П. с. Х (nr1), Х (nr2),..., Х (nrk),

, к-рая выражается формулой

(4)

Формулы (2) - (4) позволяют, напр., найти распределение вероятностей т. н. экстремальных П. с.

а также распределение статистики W_n= Х (nn)-X(n1), к-рую наз. размахом. Напр., если функция распределения F(и).непрерывна, то функция распределения размаха W_n выражается формулой

(5)

Формулы (2) - (5) показывают, что, как и в общей теории выборочных методов, точные распределения П. с. невозможно использовать при получении статистич. выводов, если функция распределения F(и).неизвестна. Именно поэтому в теории П. с. получили широкое развитие асимптотич. методы исследования распределений П. с. при неограниченном увеличении размерности ге вектора наблюдений. В асимптотич. теории П. с. изучаются предельные распределения соответствующим образом нормированных последовательностей П. с. { Х (nk)}, когда ; при этом, вообще говоря, порядковый номер kможет меняться в зависимости от ге. Если с ростом ппорядковый номер kменяется таким образом, что существует , отличный от О и 1, то соответствующие П. с. Х (nk) рассматриваемой последовательности { Х (nk)}. наз. центральными или средними П. с. Если же равен 0 или 1, то П. с. Х (nk) наз. крайними.

В математич. статистике центральные П. с. используют при построении состоятельных последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции распределения F(и).по реализации случайного вектора Xили, иначе говоря, при оценивании функции F^-1(u). Напр., пусть х _р- квантиль уровня Р(0<Р<1) функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее плотность вероятности f(u).непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности точки х _р. В этом случае последовательность центральных П. с. { Х (nk)} с порядковыми номерами k=[(n+1) Р+0,5], где [а] - целая часть действительного числа а, является состоятельной последовательностью оценок для квантили х _р,. Более того, эта последовательность П. с. { Х (nk)}асимптотически нормально распределена с параметрами

т. е. для любого действительного числа х

(6)

где Ф (х) - функция распределения стандартного нормального закона.

Пример 1. Пусть X^(.)=(X(nl), . . ., Х ( пп)).-вектор П. с., построенный по случайному вектору X =(X₁, . . ., Х _n), компоненты к-рого суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности медианы х _1/2 . В этом случае при последовательность выборочных медиан {m_n}, определяемых для любого по правилу

асимптотически нормально распределена с параметрами

В частности, если

то есть X_i подчиняется нормальному закону N( а,s²), то в этом случае последовательность {m_n} асимптотически нормально распределена с параметрами

и . Если последовательность статистик {m_n} сравнить с последовательностью наилучших несмещенных оценок

математич. ожидания анормального закона, то следует отдать предпочтение последовательности , т. к.

для любого

Пример 2. Пусть - вектор П. с., построенный по случайному вектору X=(X₁, . . ., Х _п), компоненты к-рого независимы и равномерно распределены на отрезке [а-h; a+h], причем параметры аи hнеизвестны. В этом случае последовательности статистик {Y_n}и {Z_n}, где

являются состоятельными последовательностями сверхэффективных несмещенных оценок для параметров аи hсоответственно, причем

(7)

Можно показать, что последовательности статистик {Y_n}и {Z_n}определяют наилучшие оценки для аи h в смысле минимума квадратичного риска в классе линейных несмещенных оценок, выраженных в терминах П. с.

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Уилкс С., Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [3] Дэйвид Г., Порядковые статистики, пер. с англ., М., 1979; [4] Гумбель Э., Статистика экстремальных значений, пер. с англ., М., 1965; [5] Гаек Я., Шидак 3., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [6] Гнеденко Б. В., "Докл. АН СССР. Новая серия", 1941, т. 32, № 1, с. 7-9; [7] его же, "Ann. Math.", 1943, v. 44, № 3, p. 423-53; [8] Смирнов Н. В., "Тр. Матем. ин-та", 1949, т. 25, с. 5-59; [9] его же, "Теория вероятн. и со применен.", 1967, т. 12, № 2, с. 391-92; [10] Чибисов Д. М., там же, 1964, т. 9, № 1, с. 159-65; [11] Craig А. "Т., "Amer. J, Math.", 1932, v. 54, p. 353-66; [12] Тippett L. Н. С., "Biometrika", 1925, v. 17, p. 364-87; [13] Pearson E. S., там же, 1932, v. 24, p. 404-17.

М. С. Никулин.