ПОЛУУПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

общее название векторных пространств, в к-рых определено бинарное отношение частичного порядка, согласованное определенным образом с векторной структурой пространства. Введение порядка в функциональных пространствах позволяет исследовать в общих рамках функционального анализа такие задачи, к-рые существенно связаны с неравенствами между функциями, с выделением классов положительных функций. Однако, в отличие от множества действительных чисел, допускающего полное упорядочение, естественный порядок в функциональных пространствах оказывается лишь частичным; напр., в пространстве С[a, b] естественно считать, что функция f мажорирует функцию g, если f(t)] g(t).при всех . Но при таком определении порядка многие функции окажутся несравнимыми между собой.

Упорядоченные векторные пространства (у. в. п.). Векторное пространство X над полем действительных чисел наз. упорядоченным, если в нем определено бинарное отношение порядка, причем влечет для любого и для любого числа . Таково, напр., С[ а, b]с естественным порядком. Если отношение есть порядок, то множество X₊= - конус, наз. положительным конусом. Обратно, если в векторном пространстве Xзадан конус К с вершиной в нуле, то в Xможет быть введен такой порядок, при к-ром X₊=К:следует положить , если . Рассматриваются и более общие у. в. п., и к-рых определена лишь структура квазипорядка. В этом случае множество Х ₊ есть клин, а всякий клин с вершиной в нуле порождает в Xквазипорядок.

Пусть у. в. и. Xнаделено порядком. Конус Х ₊ наз. воспроизводящим, если X₊ -Х ₊=Х. Это свойство конуса Х ₊ необходимо и достаточно, для того чтобы любое конечное подмножество из Xбыло ограниченным (сверху и снизу). Те у. в. п., в к-рых всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань, иначе - точную верхнюю границу, или супремум (а тогда и всякое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань, иначе - точную нижнюю границу, или инфимум), наз. порядково полными или (о)-полными. Более слабый вид полноты в у. в. п. определяется следующим образом: у. в. п. наз. дедекиндово полным, если всякое его ограниченное сверху и направленное вверх подмножество имеет верхнюю грань (множество направлено вверх, если для любых существует такой , что ). Если это требование выполнено для ограниченных возрастающих последовательностей, то у. в. п. наз. дедекиндово (о)-полным. Дедекиндова полнота слабее (о)-полноты. Напр., если X- произвольное бесконечномерное банахово пространство, , а К - конус натянутый на замкнутый шар S(и; r).и элемент 0, и с помощью Кв Xвведен порядок, то X- дедекиндово полное, но не (о)-полное. У. в. п. наз. архимедовым, если в нем выполнена Архимеда аксиома. В частности, архимедовым является всякое дедекиндово (о)-полное у. в. п.

В у. в. п. вводится понятие порядковой сходимости: последовательность { х _п}(о)-сходится к элементу , если существуют такие возрастающая и убывающая последовательности { у _п}. и {z_n}, что и sup y_n=x=int z_n. (о)-предел обладает многими свойствами предела в множестве действительных чисел, однако нек-рые из них справедливы лишь в архимедовых у. в. п.

Линейный оператор А, действующий из у. в. п. Xв у. в. п. Y(в частности, линейный функционал с действительными значениями), наз. положительным, если . Для положительных функционалов справедлива следующая теорема о распространении. Пусть Е - линейное подмножество в X, мажорирующее конус X₊ (это означает, что для любого существует такой , что ). Всякий линейный функционал, заданный на Еи положительный относительно конуса , допускает линейное положительное распространение на все X.

Векторная решетка (в. р.) - у. в. п., в к-ром отношение порядка определяет структуру решетки. При этом для определения в. р. достаточно постулировать для любых двух элементов из у. в. п. существование одной из граней: верхней или нижней . Напр., если существует , то . Если X - в. р., то конус X+ наз. миниэдральным. В в. р. для любого ее элемента хсуществуют положительная и отрицательная части: и

При этом x=x₊-x_-, и эта формула дает "минимальное" представление хв виде разности положительных элементов, т. е. если х=у-z, где то , . Миниэдральный конус является воспроизводящим. Элемент | х|=х ₊+х _- ваз. модулем элемента х. В пространстве С[ а, b] с естественным упорядочением положительный конус миниэдрален, положительная часть любой функции x(t).из Сполучается из x(t).заменой ее отрицательных значений нулем, а модуль есть функция |x(t)|. В в, р. всякое конечное множество элементов имеет обе грани. Модуль элемента в. р. обладает многими свойствами абсолютной величины действительного числа.

В. р. наз. дистрибутивной, если для произвольного множества ее элементов {х _a}, у к-рого существует sup х _a при любом справедлива формула: у . Тогда верна и двойственная формула:

Теорема о двойном разбиении положительных элементов: если x=y+z, где , и одновременно х=х ₁+...+х _n, где все , то каждый х _i можно представить в виде x_i= у _i+z_i так, что все и что

y=y₁+...+y _п, z=z₁+...+z_n.

Два элемента х, у в. р. наз. дизъюнктными (xdy), если . Два множества А , В наз. дизъюнктными, если adb для любых . В пространстве С[ а, b]дизъюнктность xdy означает, что . Положительный элемент еназ. слабой единицей (единицей в смысле Фрейденталя), если 0 - единственный элемент, дизъюнктный с е. В С[ а, b]слабой единицей является любая функция, к-рая больше 0 на всюду плотном множестве. Если же элемент етаков, что для любого хсуществует l, при к-ром , то еназ. сильной единицей, а Xс сильной единицей наз. в. р. ограниченных элементов. В С[ а, b]сильная единица - любая функция, для к-рой min z(t)>0. Если в архимедовой в. р. Xс сильной единицей еположить , то Xстановится нормированной решеткой.

На плоскости любой конус, кроме одномерного (т. е. луча), миниэдрален. Но в пространствах с большим числом измерений среди замкнутых конусов много не миниэдральных, напр, таковы все "круглые" конусы в R³. Для того чтобы конус (с вершиной в нуле) в n-мерном архимедовом у. в. п. был миниэдральным, необходимо и достаточно, чтобы он был натянут на ( п-1)-мерный симплекс с линейно независимыми вершинами. Всякая архимедова n-мерная в. р. изоморфна пространству Rⁿ с покоординатным упорядочением.

К-пространства (К.-п.), пространства Канторовича, суть (о)-полные в. р. Это - основной класс П. п., они всегда архимедовы, (о)-сходимость в К.-п. описывается с помощью верхнего и нижнего пределов, именно, для огранич. последовательности {x_n} и тогда означает, что . Пусть Xесть К.-н. Для любого множества его дизъюнктным дополнением наз. множество Всякое множество, к-рое является дизъюнктным дополнением (к какому-либо множеству), наз. полосой. Для любого множества Есуществует наименьшая полоса, содержащая Е, именно E^dd;она наз. полосой, порожденной множеством Е. Если само Еесть полоса, то E^dd=E. Полоса, порожденная одноэлементным множеством, наз. главной. Понятие, полосы вводится и в любой в. р., однако в К.-п. оно играет особую роль, поскольку справедлива теорема о проектировании на полосу: если Е - полоса в X, то для любого существует единственное разложение x=y+z, где . Определенный при этом линейный оператор у=Рr _Е х наз. проектором на полосу Е. Если задана произвольная совокупность попарно дизъюнктных полос Е _a, полная в той смысле, что 0 - единственный элемент из X, дизъюнктный всем Е _a, то любой представим в виде х= sup x_a, где . Всякий l-идеал также является К.-п. Однако если и в X, то это соотношение верно и в Y только в том случае, когда последовательность {х _п} ограничена в Y.

Примером К.-п. служит пространство Sвсех действительных почти всюду конечных измеримых функций на [0, 1], в к-ром эквивалентные функции отождествляются. Функция считается положительной, если x(t)0почти всюду. Если А={х _п} - счетное ограниченное сверху подмножество из S(ограниченность сверху означает, что существует такая , что почти всюду для любого п), то функция x(t) = sup x_n(t).и будет верхней гранью множества А, т. е. sup Авычисляется поточечно. Однако для несчетных множеств вычисление граней таким же способом уже невозможно, и существование у несчетных множеств ограниченных множеств в Sустанавливается сложнее, (о)-сходимость в Sозначает сходимость почти всюду. Все пространства L_p=[0,1], р>0, являются l-идеалами в S, ипотому они тоже являются К.-п.

Важную роль играет теорема Рисса - Канторовича о том, что множество всех порядково ограниченных операторов (т. <е. линейных операторов, переводящих ограниченные по упорядочению множества в такие же) из в. р. в К.-п. при естественном порядке ( означает, что при всех ) само является К.-п. Теория К.-п. нашла приложения в выпуклом анализе и теории экстремальных задач. Многие результаты здесь основываются на теореме Хана - Банаха - Канторовича о продолжении линейных операторов со значениями в К.-п.

К.-п. наз. расширенным, если всякое множество его попарно дизъюнктных элементов ограничено. В расширенном К.-п. всегда существует слабая единица. Для любого К.-п. Xсуществует единственное (с точностью до изоморфизма) расширенное К.-п. У, в к-рое Xпогружается как l-идеал, а полоса в Y, порожденная X, совпадает с Y. Такое У наз. максимальным расширением К. - п. Пространство S[0, 1] - максимальное расширение для всех пространств L_p[0,1]. Понятие расширенного К.-п. играет существенную роль во всей теории П. п., в частности при представлении К. п. с помощью функций.

С в. р. и К.-п. тесно связано понятие решеточно-нормированного пространства - векторного пространства, каждому элементу к-рого сопоставлена его обобщенная норма, являющаяся элементом фиксированной в. р. и удовлетворяющая обычным для нормы аксиомам, в к-рых знак неравенства понимается в смысле порядка в указанной в. р. Такие пространства используются в теории функциональных уравнений (теоремы существования; методы приближенного решения; метод Ньютона - Канторовича; монотонные процессы последовательных приближений и т. д.).

Топологические полуунорядоченные пространства. В функциональном анализе используются также у. в. п., в к-рых одновременно определена еще нек-рая топология, согласованная с порядком. Простейший и важнейший пример такого пространства - банахова решетка. Обобщением понятия банаховой решетки служит локально выпуклая решетка.

Важный класс банаховых К.-п. составляют КВ-пространства (КВ-п.), Канторовича - Банаха пространства. Так называется банахово К.-п., удовлетворяющее двум дополнительным условиям: 1) влечет (порядковая непрерывность нормы); 2) если последовательность {х _n} возрастает и не ограничена по порядку, то В КВ-п. удается описать с помощью нормы многие факты, опирающиеся по своему смыслу только на порядок.

Напр., означает, что равномерно относительно т. Для того чтобы множество в КВ-п. Ебыло ограничено по порядку, необходимо и достаточно, чтобы ограниченным было множество всех чисел вида , где . КВ-п. есть регулярное К.-п.

Пример КВ-п.: L_p[0,1] при .

Пусть X - произвольное локально выпуклое пространство, наделенное структурой у. в. п. и имеющее т. н. нормальный конус X₊;при этом нормальность X₊ равносильна тому, что в Xсуществует база окрестностей нуля, состоящая из абсолютно выпуклых и порядково насыщенных множеств U(последнее означает, что если и , то и весь интервал [ х, у]U). Для того чтобы каждый непрерывный линейный функционал на локально выпуклом у. в. п. был представим в виде разности положительных непрерывных линейных функционалов, необходима и достаточна нормальность конуса X₊ в слабой топологии. Для нормированных пространств нормальность конуса в слабой и сильной топологии равносильны.

Лит.:[1] Вулих Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; [2] Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г., Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, М.- Л., 1950; [3] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [4] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [5] Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А., Топологические алгебры Буля, Таш., 1963; [6] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; 17] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [8] Функциональный анализ, М., 1972 (Справоч. матем. б-ка); [9] Вулих Б. 3., Введение в теорию конусов в нормированных пространствах, Калинин, 1977; [10] Крейн М. Г., Рутман М. А., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 3-95; [11] Бухвалов А. В., Векслер А. И., Лозановский Г. Я., "Успехи матем. наук", 1979, т. 34. в. 2, с. 137-83; [12] Акилов Г. П., Кутателадзе С. С., Упорядоченные векторные пространства, Новосибирск, 1978. Б. 3. Вулих.