БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ

независимые испытания с двумя исходами каждое ("успехом" и "неудачей") и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей.

Пусть р - вероятность успеха и - вероятность неудачи, и пусть 1 обозначает наступление успеха, а 0 - наступление неудачи. Тогда вероятность определенного чередования успехов и неудач, напр.,

равна

где - число успехов в рассматриваемом ряду писпытаний. Со схемой Б. и. связаны многие распространенные распределения вероятностей. Пусть - случайная величина, равная числу успехов в пБ. и. Тогда вероятность события равна

т. е. имеет биномиальное распределение. Последнее при аппроксимируется нормальным распределением или Пуассона распределением. Пусть - число испытаний до первого успеха. Тогда вероятность события равна т. е. имеет геометрическое распределение. Если - число неудач, предшествующих r-му появлению успеха, то имеет так наз. отрицательное биномиальное распределение. Число успехов в Б. и. можно представить в виде суммы независимых случайных величин, где равно 1, если испытание закончилось успехом, и равно 0 в противном случае. Поэтому многие важные закономерности теории вероятностей, относящиеся к суммам независимых случайных величин, были первоначально установлены для схемы Б. и. ( Бернулли теорема, больших чисел закон, больших чисел усиленный закон, повторного логарифма закон, Центральная предельная теорема и т. д. ). Строгое изучение бесконечных последовательностей Б. и. требует введения вероятностной меры, в пространстве бесконечных последовательностей нулей и единиц. Это можно сделать или непосредственно, или с помощью приема, к-рый иллюстрируется ниже случаем . Пусть - число, выбираемое наудачу на отрезке с равномерным распределением, и пусть

где или 1, есть разложение со в двоичную дробь. Тогда независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью каждое, т. е. чередование нулей и единиц в двоичном разложении w описывается схемой Б. и. с Однако меру на (0, 1) можно задать и так, чтобы получить Б. и. с любым р (при получается мера, сингулярная относительно меры Лебега).

Б. и. часто трактуют геометрически (см. Бернулли блуждание). Ряд вероятностей, связанных с Б. и., был вычислен на самой ранней ступени развития теории вероятностей в связи с задачей о разорении игроков.

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; [3] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

А. В. Прохоров.