БЁРНСАЙДА ПРОБЛЕМА

- 1) Б. <п. о конечных группах: существуют ли неразрешимые конечные группы нечетного порядка? Другая формулировка: имеют ли все конечные простые неабелевы группы четные порядки? Эта Б. п. связана с именем У. Бернсайда, отметившего в 1897, что порядки всех известных к тому времени простых неабелевых групп четны [1]. Решена в 1962 У. Фейтом и Дж. Томпсоном [2], показавшими, что все конечные группы нечетного порядка разрешимы.

Лит.:[l] Burnside W., The theory of groups of finite order, 2 ed., Camb., 1911; [2] Feit W., Thompson J., "Pacific J. Math.", 1963, v. 13, № 3, p. 775-1029. В. Д. Мазуров.

2) Б. <п. о периодических группах; поставлена У. Бёрнсайдом в 1902 (см. [1]): всегда ли конечна конечно порожденная группа, каждый элемент к-рой имеет конечный порядок (неограниченная Б. п.)? Эта Б. п. может быть сформулирована также в виде вопроса: будет ли локально конечной группой всякая периодическая группа? У. Берн-сайд специально выделил важный случай этой проблемы, когда порядки всех элементов группы ограничены в совокупности (ограниченная Б. п.), т. е. в группе выполняется тождественное соотношение при нек-ром натуральном п. Наибольшее внимание было привлечено именно к ограниченному варианту Б. п. Другими словами, изучалась факторгруппа свободной группы Fс образующими по подгруппе , порожденной -ми степенями всех элементов . Известны следующие результаты: - элементарная абелева группа порядка ; - конечная группа порядка , где - конечная группа (порядка при и при (см. (1), (3), (4)); - конечная группа порядка , где и (см. [5],[6]). В 1959 (см. [7]) было анонсировано отрицательное решение ограничений Б. п. В [8] опубликовано отрицательное решение неограниченной Б. п. В дальнейшем была предложена еще одна конструкция периодич. группы, не являющейся лркально конечной [9]. В 1968 (см. [10]) было опубликовано доказательство теоремы о бесконечности группы для всех нечетных (отрицательное решение ограниченной Б. п.). Позднее было доказано, что в разрешимы проблема тождества слов и проблема сопряженности; не может быть задана конечным числом определяющих соотношений;все конечные подгруппы в абелевы, а все абелевы подгруппы являются циклическими; не удовлетворяют ни условию максимальности, ни условию минимальности для нормальных подгрупп; изоморфно вкладывается в группу . Изучению свойств бесконечных групп на основе усовершенствованных методов из [10] посвящена монография [11], где, в частности, указанная выше граница для нечетных n снижена до . Трудной задачей является окончательное разграничение показателей п, к-рым соответствуют конечные или бесконечные группы . Значения и представляют в этой связи особый интерес. Остается открытым вопрос о локальной конечности групп с условием минимальности для подгрупп; в классе 2-групп ответ на него положителен (см. [12]).

С сер. 30-х гг. стала постепенно выкристаллизовываться мысль о том, что для теории конечных групп важно, собственно, знать ответ на следующий вопрос: будет ли порядок любой конечной группы с dобразующими и тождественным соотношением ограничен сверху нек-рым натуральным числом зависящим только от dи n? Это так наз. ослабленная Б. п. Она решена положительно для любого простого показателя (см. [13]). Доказано, таким образом, существование универсальной конечной р- группы порядка факторгруппам к-рой изоморфны все другие конечные р-группы с dобразующими и соотношением . В случае конечности имеет место совпадение: . Сопоставление результатов из [10] и из [13] приводит к существованию при достаточно большом рконечно порожденной бесконечной простой р-группы показателя р. Было доказано, что . Для при имеются лишь нек-рые оценки снизу, связанные с соответствующими оценками для класса нильпотентности группы По-видимому, не может быть линейной функцией р. Что более существенно, растет неограниченно вместе с d(см. [14], [15]). Вопрос о существовании при начиная с и 9, открыт (1977). В то же время из результатов, полученных в [6] и [13], а также из теоремы о разрешимости групп нечетного порядка (см. Бернсайда проблема о конечных группах) и нек-рых классификационных фактов о простых группах вытекает существование для всех п, свободных от квадратов.

В первоначальном решении [8] неограниченной Б. п. и ослабленной Б. п. [13] для простого показателя риспользован выход в теорию алгебр, в первом случае - на основе признака бесконечномерности алгебры, а во втором - на основе одного тождества в Ли алгебрах, являющегося аналогом тождества в группах (см. [16], [17]). Проблемы бернсайдовского типа, помимо уже упомянутых, получили весьма широкое распространение (см. [8], [9]).

Лит.:[1] Burnside W., "Quart. J. Pure and Appl. Math.", 1902, v. 33, p. 230-38: [2] Levi F. W., Van der Waerden B. L., "Abh. Math. Sem. in Univ., Hamburg", 1932, Bd 9, S. 154-58; [3] Санов И. Н., "Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем.", 1940, в. 10, с. 166-70; [4] Bayes A. J., Каutskу J., w ams1eу Т. W., в кн.: Ргос. Second internet, conf. theory.of groups, Canberra, 1973, p. 82-89; [5] Ha11 M., "Proc. Nat. Acad. Soi. U. S. A.", 1957, v. 43, p. 751-53; [6] Hall P h., Higman G., "Proc. London Math. Soc.", 1956, V. 6, № 21, p. 1-42; [7] Новиков П. С. "Докл. АН СССР", 1959, т. 127, № 4, с. 749-52; [8] Голод Е, С., в кн.: Труды Международного конгресса математиков, М., 1968, с. 284-89; [9] Алёшин С. В., "Матем. заметки", 1972, т. 11, № 3, с. 319-28; [10] Новиков П. С., Адян С. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, № 1, с. 212-44, № 3, с. 709-31; [11] Адян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах, М., 1975; [12] Шмидт О. Ю., Избранные труды. Математика, М., 1959, с. 298-300; [13] Кострикин. <А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23, № 1, с. 3-34; [14] Buchmuth S. M., Muchizuki H. Y., Walliuр D. W., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1970, v. 76, № 3, p.- 6-38-40; [15] Размыслов Ю. П., "Алгебра и логика", 1971, т. 10, № 1, с. 33-44; [16] Magnus W., "J. reine und angew. Math.", 1937, Bd 177, № 1, S. 105-15; [17] Higraan G., в кн.: Proceedings of the International congress of mathematicians, Camb., 1960, p. 307-12; [18] Куров А. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1941, т. 5, с. 233-40.

А. И. Кострикин