ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА

группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K-модуля Vс побразующими.

В исследовании группы GL (n, К).большой интерес представляет вопрос о ее нормальном строении. Центр Zn группы GL(n, К).состоит из скалярных матриц с элементами из центра кольца К. В классич. случае, когда К - поле, решающую роль играет исследование нормального строения специальной линейной группы SL(n, K), состоящей из матриц с определителем 1. А именно, коммутант группы GL(n, К).совпадает с SL(n, К).(кроме случая n=2, | К| -2), и всякая нормальная подгруппа группы GL,(n, К).либо содержится в Zn, либо содержит SL(n, К). В частности, специальная проективная группа


является простой (за исключением случаев п=2,|K|=2,3).

Если К - тело и n>1, то всякая нормальная подгруппа группы GL(n, К).либо содержится в Z п, либо содержит коммутант SL+(n, K) группы GL(n, K), причем коммутант SL+(n, К).порождается трансвекциями и факторгруппа проста. Кроме того, существует естественный изоморфизм


где К*- мультипликативная группа тела К. Если Кконечномерно над своим центром k, то роль группы SL(n, K) играет группа всех матриц из GL(n, К).с приведенной нормой 1. Группы SL(n, K) и SL+(n, К).не всегда совпадают, но если k - глобальное поле, то это так (см. Кнезера - Титса гипотеза).

Исследование нормального строения П. л. г. над произвольным кольцом Ксвязано с развитием алгебраической К-теории. Над кольцами Кобщего типа группа GL(n, К).может быть весьма насыщена нормальными подгруппами. Напр., если К - коммутативное кольцо без делителей нуля и с конечным числом образующих, то группа GL(n, К).финитно аппроксимируема, т. е. для каждого ее элемента gсуществует нормальная подгруппа Ng конечного индекса, не содержащая g. В случае К=. задача описания нормальных подгрупп группы GL ( п,) фактически эквивалентна конгруэнц-проблеме для группы SL(n, ), поскольку а всякая нескалярная нормальная подгруппа группы SL(n, ) при n>2 является конгруэнц-подгруппой.

Имеется глубокая аналогия между строением П. л. г. и строением других классич. групп, к-рая простирается далее на простые алгебраические группы и группы Ли.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; 12] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] БассX., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973. В. П. Платонов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • полная линейная группа — pilnutinė tiesinė grupė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. complete linear group; full linear group; general linear group vok. volle lineare Gruppe, f rus. полная линейная группа, f pranc. groupe linéaire complet, m; groupe linéaire… …   Fizikos terminų žodynas

  • Полная проективная группа — Проективная группа от n переменных над телом K  группа PGLn(K) преобразований (n − 1) мерного проективного пространства Pn − 1(K), индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства Kn. Имеется естественный эпиморфизм , ядром… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа невырожденных линейных преобразований конечномерного векторного пространства Енад телом К, являющаяся классической группой (см. также Линейная группа). Важнейшими типами Л. к. г. являются следующие: полная линейная группа GLn(K),… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ГРУППА — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа G, наделенная структурой алгебраического многообразия, в к рой умножение и переход к обратному элементу являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраич. многообразий. А. г. наз. определенной над полем , если ее алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

  • КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРУППА — множество G, наделенное одновременно структурой топологической группа и структурой конечномерного аналитического многообразия (над нолем k, полным относительно нек ро го нетривиального абсолютного значения).так, что отображение заданное правилом… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА — компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. Ли к. г. могут быть охарактеризованы как конечномерные локально связные компактные топологич. группы. Если G0 связная компонента единицы Ли к. г. С, то группа связных компонент… …   Математическая энциклопедия

  • ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — детерминант, квадратной матрицы А=||aij|| порядка пнад ассоциативно коммутативным кольцом K с единицей 1 элемент кольца K, равный сумме всех членов вида где i1, . . ., in перестановка чисел 1, . . ., п,a t число инверсий перестановки i1,..., in.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»