ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- совокупность всех элементов аналитич. ции, получающихся при всевозможных аналитических продолжениях исходной аналитич. ции f=f(z) комплексного переменного z, заданной первоначально в нек-рой области Dрасширенной комплексной плоскости

Пара (D, f), состоящая из области и заданной в Dоднозначной аналитической, или голоморфной, функции f, наз. элементом аналитической функции, аналитическим элементом, или, короче, просто элементом. Всегда возможно, в частности, при задании аналитич. ции пользоваться вейерштрассовым, или регулярным, элементом (U(a, R), f _а), состоящим при из степенного ряда

(1)

и круга сходимости этого ряда с центром аи радиусом сходимости R>0. В случае вейерштрассов элемент состоит из ряда

(2)

и области сходимости этого ряда U(, R) ={z:|z|>R}, R0.

Пусть Е _f - множество всех тех точек , в к-рые исходный элемент (U(a, R), f_a) аналитически продолжается хотя бы по одному пути, связывающему в точки aи z. Следует иметь в виду возможность такой ситуации, когда в точку аналитич. родолжение возможно вдоль нек-рого класса путей L₁ и невозможно вдоль другого класса путей L₂ (см. Особая точка аналитич. функции). Множество E_f есть область плоскости . Полной аналитической функцией (в смысле Вейерштрасса) f_W, порожденной элементом (U(a, R), f_a), называется совокупность всех вейерштрассовых элементов , получаемых при этом аналитич. родолжении вдоль всевозможных путей . Область Е _f наз. (вейерштрассовой) областью существования П. а. ф. f_w. Применяя элементы общего вида (D,f), вместо вейерштрассовых на самом деле получают ту же самую П. а. ф. f_W. Элементы (D, f) П. а. ф. f_W- часто наз. ветвями аналитической функции f_W. Любой элемент (D, f) П. а. ф..f_W будучи взят за исходный при аналитич. родолжении, приводит к той же самой П. а. ф. f_w. Каждый элемент (U(z, R), f_z) П. а. ф. f_w может быть получен из любого другого ее элемента (U(a, R), f _а) посредством аналитич. родолжения вдоль нек-рого пути, связывающего в точки аи z.

Может оказаться, что исходный элемент (D, f) не допускает аналитич. родолжения ни в одну точку . В этом случае D = E_f является естественной областью существования, или областью голоморфности, функции f, а ее граница Г= дD - естественной границей функции f. Напр., для вейерштрассова элемента

естественной границей является окружность Г={z:|z|=1} его круга сходимости U(0, 1), т. к. этот элемент нельзя продолжить аналитически ни в одну точку z такую, что |z|1. Какова бы ни была область , можно построить аналитич. цию f_D(z), для к-рой Dесть естественная область существования f_D(z), а ее граница Y=дD - естественная граница f_D(z) (это следует, напр., из Миттаг-Леффлера теоремы).

П. а. ф. f_W в своей области существования E_f, вообще говоря, не является функцией точки в обычном смысле этого слова. Часто встречающаяся в теории аналитич. ций ситуация такова, что П. а. ф. f_W есть многозначная функция: для каждой точки существует, вообще говоря, бесконечное множество элементов (U(z, R), f_z ) с центром в этой точке. Однако это множество не более чем счетное (теорема Пуанкаре - Вольтерра). В целом П. а. ф. f_W можно рассматривать как однозначную аналитич. цию только на соответствующей рима-новой поверхности, являющейся многолистной накрывающей поверхностью над . Напр., П. а. ф. f(z)=Ln z= ln |z| + i Arg z многозначна в своей области существования Е _f={:0<|z|<oo}; в каждой точке она принимает счетное множество значений

и каждой точке соответствует счетное множество элементов

с центром z. Обычно используется однозначная ветвь этой П. а. ф.- главное значение логарифма ln z= = ln |z| + i arg z, являющееся голоморфной функцией в области D={:0<|z|<, -p<argz<p}, непрерывно продолжаемой на множество {: 0<|z|<oo, -p<arg gp}.

При обращении (см. Обращение ряда).вейерштрассовых элементов (1), (2) возникают элементы более общей природы, определяемые соответственно рядами Пюизё:

(3)

где m, - целое число, v - натуральное число, и кругами сходимости этих рядов U(a, R), U(oo, R). В частности, при (m0, v=l ряды (3) совпадают с рядами (1), (2), определяющими регулярные элементы; в отличие от них определяемые рядами (3) элементы при m<0 или v>l наз. особыми. При v=l и v>l ряды (3) определяют соответственно неразветвленные и (алгебраические) разветвленные элементы.

Допуская при продолжении исходного момента (U(a, R), f _а) и особые элементы с рядами вида (3), вообще говоря, многозначные (при v>l) и имеющие особенности типа полюса (при m<0), получают более обширную, чем вейерштрассова, риманову область существования E_R и соответствующую более обширную совокупность элементов, определяемых рядами вида (3), называемую аналитическим образом. Аналитич. образ отличается от П. а. ф. присоединением всех особых элементов, получаемых при продолжении данного регулярного элемента. После введения соответствующей топологии аналитич. образ превращается в риманову поверхность данной функции.

При описанном построении П. а. ф. f_W можно пользоваться вместо элемента понятием ростка аналитич. ции, смысл введения к-рого заключается в локализации понятия элемента, в отвлечении от не имеющей в данном случае существенного значения величины радиуса сходимости. Два элемента (D, f) и (G, h).такие, что области Dи Gсодержат общую точку а, наз. эквивалентными в точке а, если существует окрестность точки а, в к-рой . Это отношение эквивалентности обладает обычными свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Класс эквивалентности элементов в данной точке наз. ростком аналитической функции f_a в точке а. Росток характеризует локальные свойства функции в данной точке. Два ростка f _а и g_a равны, если в нек-рой окрестности точки асовпадают какие-либо представители классов эквивалентности. Аналогично, при помощи представителей, определяются арифметич. действия с ростками и их дифференцирование. П. а. ф. f_W есть совокупность всех ростков аналитич. ций , получаемых из данного ростка f _а аналитич. продолжением вдоль всевозможных путей в . Равенство двух П. а. ф. f_W, g_W и действия с П. а. ф. определяются как равенство ростков f_a, g_a в какой-либо точке и действия с ростками.

Элементы (D, f), вейерштрассовы элементы (Uⁿ(a, R), f _а) и ростки аналитич. ции многих комплексных неременных z=(z₁, . . ., z_n), , определяются точно так же, как выше, но с помощью областей Dкомплексного пространства или поликругов сходимости

кратных степенных рядов

Понятие П. а. ф. многих комплексных переменных строится далее вполне аналогично случаю одного переменного.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [2] Шабат, Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [3] Спрингер Дж., Введение в теорию риыановых поверхностей, пер. с англ., М., I960; [4] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, М., 19В2.

Е. Д. Соломенцев.