ПОЛЕЙ КЛАССОВ ТЕОРИЯ

теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля К, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) К - поле алгебраич. чисел, т. е. конечное расширение поля ; 2) К - конечное расширение поля рациональных р-адических чисел ; 3) К - поле алгебраич. функций одной переменной над конечным полем; 4) К - поле формальных степенных рядов над конечным полем.

Основные теоремы П. к. т. были сформулированы и доказаны в частных случаях Л. Кронекером (L. Kronecker), Г. Вебером (Н. Weber), Д. Гильбертом (D. Hilbert) и др. (см. также Алгебраическая теория чисел).

Поля типа 2) и 4) наз. локальными, а поля типа 1) и 3) - глобальными. Соответственно можно говорить о локальной и глобальной П. <к. т.

В локальной П. к. т. каждому конечному абелеву расширению L/К с группой Галуа G(L/K).ставится в соответствие норменная подгруппа N_L/K(L*).мультипликативной группы К* поля К. Группа N_L/K(L*).полностью определяет поле L, и существует канонич. изоморфизм (основной изоморфизм П. к. т.). Явный вид этого изоморфизма дает теория формального комплексного умножения (см. [2] гл. 6). Наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в К* реализуется как норменная подгруппа для нек-рого абелева расширения L(теорема существования).

Если Lи L₁ - конечные абелевы расширения поля К, M=LL₁ и N=L^.L₁, то справедливы соотношения

(1)

Включение выполняется тогда и только тогда, когда

причем в этом случае диаграмма

(2)

где а получен ограничением автоморфизмов с L₁ на L,a b индуцирован тождественным отображением , коммутативна. В частности, если К ^аb- максимальное абелево расширение поля К, то группа Галуа G(K^ab/K).канонически изоморфна проконечному пополнению группы К*.

Изоморфизм j дает также описание последовательности подгрупп ветвления в G(L/K). Так, расширение L/K не разветвлено тогда и только тогда, когда группа единиц U(К).поля Ксодержится в группе N_L/K(L*). В этом случае изоморфизм j полностью определяется тем, что автоморфизм Фробениуса, порождающий группу G(LlK), переходит в класс p^.N_L/K(L*), где p - простой элемент поля К.

На языке когомологий групп изоморфизм j интерпретируется как изоморфизм между группами когомологий Тейта

и

Более того, пусть L/K- произвольное конечное расширение Галуа локальных полей. Тогда для любого целого n определен канонич. изоморфизм j:

Если задана башня полей Галуа , то инфляция

сохраняет инвариант (см. Брауара, группа), а ограничение

умножает инвариант на [L: К]. Если -сепарабельное замыкание поля К, то инвариант определяет кавонич. изоморфизм между группой Брауэра поля А'

и

В глобальной П. к. т. роль мультипликативной группы поля играет группа классов иделей. Пусть LlK - конечное расширение Галуа глобальных полей, и I_L. - группа иделей поля L. Группа L* вкладывается в I_L в качестве дискретной подгруппы (она наз. группой главных иделей), а факторгруппа C_L=I_L/L*, наделенная фактортопологией, наз. группой классов иделей. Доказывается, что и , где n=[L : К]. Существует канонич. вложение inv: . Как и в локальной П. к. т., для любого целого попределен изоморфизм (основной изоморфизм глобальной П. к. т.)

Для абелева расширения L/К изоморфизм y₀ сводится к изоморфизму . Норменная подгруппа N_L/K( С _L) однозначно определяет поле L, и наоборот, любая открытая подгруппа конечного индекса в С _K является норменной подгруппой для нек-рого конечного абелева расширения L(глобальная теорема существования). Соотношения, аналогичные (1) и (2), остаются справедливыми и для глобальных полей. Если К ^аb- максимальное абелево расширение поля K, то в функциональном случае группа G(K^ab/K).изоморфна проконечному пополнению группы С _K, а в числовом случае группа G(K^ab/K]изоморфна факторгруппе группы С _K по связной компоненте.

Изоморфизмы j_n и y_n согласованы. Если L/Kконечное расширение Галуа глобальных полей, L_v - пополнение поля Lотносительно нек-рой точки v и К _v- пополнение поля Котносительно ограничения vна К, то существует коммутативная диаграмма

(3)

где отображение / индуцировано вложением L*-I_L С _L и коограничением cores. Для n=0 (3) дает коммутативную диаграмму

(4)

Диаграмма (4) позволяет получить закон разложения простых дивизоров поля Кв абелевом расширении L/K. Именно, дивизор с поля K не разветвлен в L (вполне распадается в L).тогда и только тогда, когда (соответственно

Если С - нек-рый простой дивизор поля К, не разветвленный в L, v - точка поля K, соответствующая с, и p - простой элемент поля K_v, то определен символ

Артина , зависящий только от с. Элемент - это автоморфизм Фробениуса в подгруппе разложения точки v. Согласно теореме плотности Чеботарева любой элемент группы G(L/K]имеет вид для бесконечного числа простых дивизоров с поля К.

Напр., максимальное абелево неразветвленное расширение числового поля К(называемое гильбертовым полем классов) - это поле, норменная подгруппа к-рого совпадает с образом относительно проекции группы , где v пробегает все точки поля К. Группа канонически изоморфна группе классов дивизоров Сl_K- поля К, что дает важный изоморфизм . В частности, над Кнет неразветвленных абелевых расширений тогда и только тогда, когда поле K одноклассно.

Тип разложения простого дивизора с поля K в . F полностью определяется классом с в С1 _С . Вполне распадаются в Fвсе главные дивизоры и только они. Все дивизоры поля А становятся главными в F.

Подобно тому, как П. к. т. для абелевых неразветвленных расширений можно излагать на языке группы классов дивизоров и ее подгрупп, можно дать характеризацию любого конечного абелева расширения поля Кв терминах группы лучевых классов по нек-рому модулю (см. Алгебраическая теория чисел). Существуют также обобщения П. к. т. на случай бесконечных расширений Галуа [4].

Хотя П. к. т. возникла как теория абелевых расширений, ее результаты дают важную информацию и для неабелевых расширений Галуа. Напр., на теории полей классов основано доказательство существования бесконечных башен полей классов (см. Башня полей).

Лит.:[1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М. 1969; [2] Вейль А., Основы теории чисел, пер. с англ., М. 1972; [3] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем. М., 1973; [4] Кузьмин Л. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем." 1969, т. 33, в. 6, с. 1220-54. Л. В. Кузьмин