ПОЛЕ


ПОЛЕ

- коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к-рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно-ассоциативные кольца с единицей. Примеры полей: П. рациональных чисел , П. действительных чисел , П. комплексных чисел , конечные П. (см. Галуа поле), П. частных областей целостности.

Подполем поля Кназ. подмнбжество , к-рое само является П. относительно операций сложения и умножения, заданных в К. Напр.,если s-нек-рый автоморфизм поля К, то множество является подполем в К, Если М и N - подполя поля К, то их пересечение будет подполам в К;кроме того, существует наименьшее подполе MN поля К, содержащее Ми Nи называемое композитом полей Ми N(в К). Каждое П. содержит единственное простое (т. е. не содержащее подполей) подполе. Любой гомоморфизм полей является вложением. Для произвольного поля Ксуществует единственный гомоморфизм , переводящий единицу кольца в единицу поля К. Если ker j=0, то Кназ. полем характеристики нуль. В этом случае простое подполе поля А совпадает с П. частных кольца Ф () и изоморфно нолю . Если ker , то ker j=р . для нек-рого простого р. Это рназ. характеристикой поля К. Простое подполе поля Ксовпадает в этом случае с .

Если kподполе поля K, то Кназ. расширением поля k. Пусть Y - нек-рое подмножество в К, тогда определено поле k(Y) - наименьшее подполе поля К, содержащее Yи k. Говорят, что k(Y).получено из kприсоединением элементов множества Y. Основные задачи теории полей - это описание всех подполей данного П., всех П., содержащих данное П., то есть надполей (см. Расширение поля), изучение всех вложений П. в нек-рое другое П., классификация полей с точностью до изоморфизма и изучение группы автоморфизмов данного П.

Поле Кназ. конечно порожденным над своим подполем k, если существует конечное множество такое, что K=k(Y). Любое такое П. можно интерпретировать как П. рациональных функций k(X).нек-рого неприводимого алгебраич. многообразия X, определенного над k. Изучением таких П. занимается алгебраическая геометрия. В частности, задача классификации таких П. эквивалентна задаче бирациональной классификации неприводимых алгебраич. многообразий, а задача нахождения группы всех автоморфизмов П. K=k(X), оставляющих на месте все элементы поля k, эквивалентна задаче нахождения всех бирациональных автоморфизмов многообразия X, определенных над k.

Изучение конечных сепарабельнях расширений произвольных П. составляет предмет Галуа теории. В теории чисел важную роль играет рассмотрение конечных расширений поля , называемых П. алгебраич. чисел. Изучением этих П. занимается алгебраическая теория чисел.

Теория полей изучает также П., несущие нек-рые дополнительные структуры, напр. дифференциальные П., топологические П., упорядоченные П., формально вещественные и формально р-адические П. и др.

Зарождение теории П. (в рамках теории алгебраич. уравнений) относится к сер. 19 в. После публикации работ Э. Галуа (Е. Galois) и Ж. Лагранжа (J. Lagrange) в теории групп и К. Ф. Гаусса по теории чисел стало очевидно, что нужно исследовать природу самих числовых систем. Концепции П. появляются в работах Л. Кронекера (L. Kronecker) и Р. Дедекинда (R. Dedekind). P. Дедекинд ввел понятие П., к-рое он первоначально называл "рациональной областью". Теория Р. Дедекинда опубликована в примечаниях и дополнениях к "Теории чисел" П. Дирихле (P. Dirichlet). В них Р. Дедекинд существенно дополнил и развил теорию чисел, теорию идеалов и теорию конечных П. Термин "П." впервые появился в издании этой книги в 1871.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Вандер Вар ден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "ПОЛЕ" в других словарях:

  • ПОЛЕ — ср. простор за городом, селеньем, безлесная, незастроенная, обширная равнина; посему поле противополагается селению, лесу, горам, болоту и пр. Выйдем в поле или на поле. Скот ходит в поле. Не поле кормит, а нива, обработанная, а не простор только …   Толковый словарь Даля

  • ПОЛЕ — я, мн. поля, полей, ср. 1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. «И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле.» Лермонтов. «Князь по полю едет на верном коне.» Пушкин. «Владимир ехал полем,… …   Толковый словарь Ушакова

  • поле — (17) 1. Безлесное пространство, равнина, луг: ...рища въ тропу Трояню чресъ поля на горы. 6. Не буря соколы занесе чресъ поля широкая. 6 7. Сами скачють, акы сѣрыи влъци въ полѣ. 8. Русичи великая поля чрьлеными щиты прегородиша, ищучи себѣ чти,… …   Словарь-справочник "Слово о полку Игореве"

  • ПОЛЕ —     ♥ Поле один из наиболее положительных символов. Однако значение его зависит от того, в каком состоянии и в какое время года вы видели поле. Видеть невспаханное, незасеянное поле ранней весной сон означает, что данный период вашей жизни… …   Большой семейный сонник

  • поле — Пашня, луг, поляна, нива; фон, равнина, степь. В чистом поле, в широком раздолье. Фон картины. Поля шляпы, поля (края, закраины) книги. См. арена, край, место . одного поля ягоды... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под.… …   Словарь синонимов

  • ПОЛЕ — (1) (см. (13)), существующее в виде (см.) и описываемое совокупностью пространственно временных распределений физ. величин, характеризующих рассматриваемые волны; (2) П. вращающееся магнитное ] (3) П. голографическое волновое поле (см. (1)),… …   Большая политехническая энциклопедия

  • ПОЛЕ — ПОЛЕ, я, мн. я, ей, ср. 1. Безлесная равнина, пространство. Гулять по полю и по полю. На поле и на поле. Ледовое п. (перен.: сплошное пространство льда). 2. Обрабатываемая под посев земля, участок земли. Ржаное п. 3. Большая ровная площадка,… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПОЛЕ — ПОЛЕ, я, мн. я, ей, ср. 1. Безлесная равнина, пространство. Гулять по полю и по полю. На поле и на поле. Ледовое п. (перен.: сплошное пространство льда). 2. Обрабатываемая под посев земля, участок земли. Ржаное п. 3. Большая ровная площадка,… …   Толковый словарь Ожегова

  • ПОЛЕ — в физике пространство, в котором можно обнаружить физические воздействия (см. Поля теория). Понятие поля заимствовала современная психология. Поле чувства – совокупность находящихся в нервном центре (см. Психофизический уровень) окончаний… …   Философская энциклопедия

  • ПОЛЕ — 1) безлесная равнинная территория.2) Участки пашни, на которые разделена площадь севооборота, и запольные участки.3) Площадка, оборудованная для чего либо (напр., поле футбольное).4) Район боевых действий (напр., поле битвы).5) Пространство,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • поле —   Поле брани (или битвы, сражения) (книжн.) место, где происходила битва.     Пал на поле брани. На поле сражения лежали мертвые люди и лошади. Пришвин.   Поле зрения перен. кругозор, область рассмотрения или изучения.     тот факт остался вне… …   Фразеологический словарь русского языка

Книги

  • Поле, Рыдник В.. Зарождение и развитие идей о физическом взаимодействии. Показана смена представлений об эфире понятием физического поля, наиболее полно развитым теорией относительности, квантовой теорией и… Подробнее  Купить за 294 руб
  • Поле боя, Василий Головачев. Удел свидетелей тайных операций чаще всего - смерть. Единственный шанс выжить - это атаковать самому. Тем более когда опыт, силы, мастерство и поддержка друзей на твоей стороне. Бывший… Подробнее  Купить за 220 руб
  • Поле битвы - Москва, Лев Пучков. Офицеры из группы оперативного резерва - опытнейшие вояки, настоящие псы войны, а прокололись как необстрелянные салаги: повезли на следственный эксперимент чеченского боевика и упустили.… Подробнее  Купить за 130 руб
Другие книги по запросу «ПОЛЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.