ПОДСТАНОВОК ГРУППА

- совокупность подстановок на нек-ром множестве X, образующих группу относительно операции умножения подстановок. Иначе, П. г.- это пара (G, X), где G - группа, X - множество и каждому соответствует подстановка множества Xтакая, что 1) , , и 2) х ^a=х для любого тогда и только тогда, когда a=e - единица группы G. Если выполняется лишь условие 1), то говорят о действии (или представлении) группы G на множестве X. В этом случае подмножество Нэлементов группы G, оставляющих на месте все , будет нормальным делителем в G(называемым ядром действия) и факторгруппа G/H действует на Xуже как 11. г. Если X - конечное множество, то П. г. (G, X).наз. конечной, в противном случае - бесконечной. Множество всех подстановок на Xназ. симметрич. группой и обозначается S(X). или S_n, если Х={1, 2, . . ., n}.

Подобием (или изоморфизмом) П. г. (G, X).на П. г. (G', X').наз. пара (j, y) отображений, где j - изоморфизм G на G', а y - биекция Xна X', причем оба отображения согласованы в том смысле, что для всех и имеет место равенство . П. г., между к-рыми существует подобие, наз. подобными. Если (G, X).- П. г., то на множестве Xестественно определена эквивалентность: для нек-рого ; классы эквивалентности П. г. наз. орбитами, или областями транзитивности, группы (G, X). П. г. транзитивна, если она имеет лишь одну орбиту, в противном случае она интранзитивна (см. Транзитивная группа).

Произвольная абстрактная группа Gможет быть представлена как П. г. на подходящем множестве X(теорема Кэли). При этом в качестве Xможно выбрать множество всех элементов группы Gи сопоставить каждому отображение, получающееся в результате умножения справа на элемент g : x^g =xg. Полученное таким образом регулярное представление группы Gв виде П. г. не является единственно возможным. При исследовании П. г. интересуются другими свойствами, чем при изучении абстрактных групп. Речь идет не только о строении группы, а в первую очередь о том, как группа действует на множестве X;так, напр., свойство транзитивности есть свойство П. г., а не абстрактных групп.

Пусть (G, X).- П. г., а М- подмножество в X. Совокупность всех подстановок , переводящих Мв себя (то есть ), образует подгруппу G_M, называемую стабилизатором множества М. Множество тех подстановок, к-рые оставляют все на месте, наз. фиксатором множества Ми обозначается G_{M} Фиксатор будет нормальным делителем стабилизатора. Если М={a} - одноэлементное множество, то понятия стабилизатора и фиксатора совпадают (он обозначается G_a). Группа наз. полурегулярной (или действующей свободно), если стабилизатор каждой точки является единичной группой и регулярной (или просто транзитивной), если группа, кроме того, транзитивна. Централизатором группы Gназ. ее централизатор в симметрич. группе S(X) - это совокупность подстановок на X, поэлементно перестановочных со всеми элементами из G. Централизатор транзитивной группы полурегулярен, и наоборот, централизатор полурегулярной группы транзитивен. Регулярная П. г. (G, X).подобна вышеприведенному регулярному представлению группы G. Централизатором регулярного представления будет т. н. левое регулярное представление группы G, сопоставляющее элементу подстановку

Существуют операции (см. [6]), позволяющие из заданных П. г. строить новые.

а) Сумма П. г. Пусть (G, X).и (H, Y) - две П. г., причем пересечение пусто. Сумма (G, X)+(H, Y).определяется как П. г. прямого произведения G Х H на объединении , причем для

б) Произведением (G, Х).Х( Н, Y).П. г. (G, X).и (H, Y) наз. группа (GХ H, XX Y), действующая на XX Yсогласно формуле

Обо операции ассоциативны и могут быть определены для произвольного числа групп.

в) Сплетение. Пусть (С, X).и (H, Y).- П. г. и - отображение Xв H. На множестве пар [a, b (x)], называемых таблицами, определяется умножение:

относительно к-poгo они образуют группу . Сплетение П. г. (G, X).и (H, Y).есть П. г. причем действие определяется формулой

Сплетение также ассоциативно и может быть определено даже для любого вполне упорядоченного семейства П. г. Сплетение неединичных П. г. будет импримитивной группой. Если G к Н рассматривать как их регулярные представления, то это определение с точностью до порядка сомножителей совпадает с обычным теоретико-групповым сплетением групп.

г) Экспонирование. Группа таблиц, действующая на множестве Y^X, приводит к П. г.

Причем действие определяется следующим образом:

где . Экспонирование не ассоциативно и приводит обычно к примитивным группам. А именно, примитивна, если (H, Y) - примитивная нециклич. группа.

Группы подстановок возникают обычно как совокупность подстановок, сохраняющих нек-рые отношения или операции на множестве X(см. также Преобразований группа). Так, исходным для возникновения теории П. г. было понятие группы Галуа многочлена. Если

многочлен с коэффициентами а _i из нек-рого поля К,a x₁, ...,x_n - его корни в нек-ром надполе, то группой Галуа будет П. г. множества {x₁, . . .,x_n}, сохраняющих рациональные отношения между корнями, т. е. равенства вида

где . Как показал Э. Галуа (Е. Galois), от свойств этой группы зависит разрешимость или неразрешимость уравнения f(x)=0 в радикалах. Этот результат привел к развитию теории П. г. в трудах Э. Галуа, Ж. Серре (J. Serret), К. Жордана (С. Jordan) и др. Дальнейшее развитие (кон. 19 - нач. 20 вв.) эта теория нашла в работах У. Бёрнсайда (W. Burnside), У. Маннинга (W. Manning), Г. Фробениуса (G. Frobenius), О. Ю. Шмидта, И. Шура (J. Schur). П. г. имеют многочисленные применения в дискретной математике, напр. при классификации булевых функций и конечных автоматов, в теории кодов с исправлением ошибок, при подсчете изомеров сложных органич. соединений.

Лит.:[1] Passman D., Permutation groups, N.Y.- Arnst., 1968; [2] Wielandt H., Finite permutation groups, N.Y.-L., 1964; [3] Burnside W., Theory of groups of finite order, N.Y., 1958; [4] Калужкин Л. А., Сущанский В. И., Преобразования и перестановки, пер. с укр., М., 1979; [5] Xолл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [6] Калужнин Л. А., Клин М. X., Сущанский В. И., "Известия вузов. Математика", 1979, №8, с. 26-33.

Л. А. Калужнин.