ПЛЮККЕРА ФОРМУЛЫ

- формулы, связывающие внешние, т. е. отвечающие проективным вложениям, и внутренние характеристики алгебраич. многообразий. Наиболее старыми и известными среди численных формул алгебраич. геометрии являются П. ф. для плоской приведенной и неприводимой кривой , к-рая имеет лишь обыкновенные двойные и каспидальные особые точки. Пусть d - степень кривой Z, т. е. число точек из Zна лрямой общего положения в , a d* - класс криво и Z, т. е. число прямых, касательных к Z в неособых точках и проходящих через одну и ту же фиксированную точку общего положения в СР ². Основные две формулы Плюккера таковы:

где g - род разрешения Xкривой Z,d- число обыкновенных двойных точек, a k- число касгшдальных точек. Формула (1) сводится к виду d* = d(d-1), если кривая Zнеособа.

Другие классические П. ф. следуют из (1) и (2) по двойственности. Если Z - не прямая, тогда двойственная кривая Z* к Zопределяется как замыкание множества касательных к Z, рассматриваемых как точки двойственной плоскости . Теорема, принадлежащая Ю. Плюккеру (J. Plucker, см. [3]), состоит в том, что дважды двойственная кривая Z** совпадает с Z. Предполагая, что Z* имеет лишь d* обыкновенных двойных и k* каспидальных особых точек, получают формулы

Число d* можно интерпретировать также как число бикасательных к Z, т. е. прямых, к-рые касаются Z ровно в двух различных и неособых точках, с порядком касания 2, a k* - как число точек перегиба. Четыре формулы (1), (2), (1)*, (2)* не независимы: из любых трех следует четвертая. Однако любые три из них независимы. Из них вытекают также следующие соотношения:

Именно эти формулы были получены Ю. Плюккером вместе с формулами (1) и (1)* в 1834-39.

В случае основного поля конечной характеристики П. ф. и теорема двойственности не всегда справедливы. Напр., в характеристике 2 все касательные к конике проходят через одну определенную точку, паз. странной точкой коники, поэтому двойственная кривая есть прямая. В характеристике 3: имеется неособая кубика только с тремя точками перегиба и даже с одной (по П. ф. их должно было бы быть девять). При правильной интерпретации d* формулы (1), (2) остаются справедливыми во всех характеристиках 2; в характеристике 2 их нужно заменить на

Известно обобщение П. ф. на случай кривых в Р ⁿ с произвольными особенностями (см. [2]), а также на случай гиперповерхностей в Р ⁿ.

Лит.:[1] Вerzоlari L., в кн.: Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Bd 3₂, Lpz., 1906; [2] Гриффитс Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии, т. 1-2, пер. с англ., М.. 1982; [3] Клейман С. <Л., "Успехи матем. наук", 1980, т. 35, в. 6, с. 69-148.

В. В. Шокуров.