- БАРЬЕР
барьер Лебега, в теории потенциала- функция, существование к-рой является необходимым и достаточным условием регулярности граничной точки в отношении поведения обобщенного решения задачи Дирихле в этой точке (см. также Перрона метод. Регулярная точка).
Пусть D - область в евклидовом пространстве
, и
- точка ее границы
. Барьером для точки
наз. всякая функция wx (x) , непрерывная в пересечении
замкнутой области
и нек-рого шара
с центром в точке
, супергармоническая внутри
и положительная в
, за исключением точки
, в к-рой она обращается в нуль. Напр., при
во всякой граничной точке
, для к-рой существует замкнутый шар
, имеющий с
единственную общую точку
, в качестве Б. можно взять гармонич. функцию
где
- радиус шара
- его центр.
Б. в теории функций комплексного переменного- функция, из существования к-рой для всех граничных точек области Dследует, что Dявляется голоморфности областью. Пусть D - область в комплексном пространстве
- точка границы
. Б. в точке
есть всякая аналитич. функция
, имеющая особенность в
. Так, для граничной точки
любой плоской области
Б. является функция
. В каждой точке
границы шара
также существует Б. - функция
.
Б. существует в граничной точке
области D, если в Dопределена аналитпч. функция
, неограниченная в
, т. е. такая, что для нек-рой последовательности точек
, сходящейся к
, имеем
Обратное справедливо для областей
в следующей усиленной форме: для любого множества Еточек границы области D, в к-рых существует Б., найдется голоморфная в Dфункция, неограниченная во всех точках Е. Если Евсюду плотно на границе D, то D - область голоморфности.
Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964, гл. 4; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 2,2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев, М. Ширинбеков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.