ОПЕРАТОР


ОПЕРАТОР

- отображение одного множества на другое, каждое из к-рых наделено нек-рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y - два множества; оператором Аиз множества Xво множество Yназ. правило или соответствие, к-рое каждому элементу хиз нек-рого подмножества сопоставляет однозначно определенный элемент ; множество Dназ. областью определения оператора A и обозначается D (А);множество {(х),} наз. областью значений оператора A и обозначается R(A). Часто пишут Ах вместо (х). Термин "О." используется чаще всего в случае, когда Xи Y - векторные пространства. Если A - оператор из Xв Y, где Y=Х, то Аназ. оператором в X. Если D(A)=X, то Аназ. всюду определенным оператором. Если A1, Aa- операторы из X1 в Y1 н из Х 2 в Y2 с областями

определения D(A1).и D(A2) соответственно и такие, что i и A1x=A2x при всех , то при X1= Х 2, Y1= Y2 оператор А 1 называется суженнем, или ограничением, оператора А 2, а оператор A2 - расширением оператора A1; при , А 2 называется расширением оператора A1 с выходом из Х 1.

Многие уравнения в функциональных или абстрактных пространствах можно представить в виде Ах-у, где , , у - задан, х - неизвестен, А - оператор из Xв Y. Утверждение о существовании решения такого уравнения при любой правой части равносильно утверждению, что область значении оператора Аесть все пространство Y; утверждение, что уравнение (х) имеет при любом единственное решение, означает, что Авзаимно однозначно отображает D(А).на R(А).

Если Xи Y - векторные пространства, то в множестве всех О. из Xв Y можно выделить класс линейных операторов;остальные О. из Xв Y наз. нелинейными операторами. Если Xи Y - топологические векторные пространства, то в множестве 0. из X в Y естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс ограниченных линейных операторов A (таких операторов А, что образ любого ограниченного множества в Xограничен в У) и класс линейных компактных операторов (т. е. таких О., что образ любого ограниченного множества в Xпредкомпактен в Y). Если X и Y - локально выпуклые пространства, то в Xи Y естественно рассматривать различные тоцологии; О. наз. полунепрерывным, если он определяет непрерывное отображение пространства X(в исходной топологии) в пространство Y в слабой топологии (понятие полунепрерывности используется главным образом в теории нелинейных О.); О. наз. усиленно непрерывным, если он непрерывен как отображение пространства Xв ограниченно слабой топологии в пространство У; О. наз. слабо непрерывным, если он определяет непрерывное отображение X в Y, где X и Y наделены слабой топологией. Часто компактные О. наз. вполне непрерывными. Иногда термин "вполне непрерывный О." используется вместо термина "усиленно непрерывный О." или для обозначения О., переводящего любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся; если Xи Y - рефлексивные банаховы пространства, то эти условия эквивалентны компактности О. Если О. усиленно Непрерывен или компактен, то он непрерывен; если О. непрерывен, то он слабо непрерывен.

Графиком оператора Аназ. множество , определенное соотношением


Пусть X и Y - топологические векторные пространства; оператор Аиз Xв Y наз. замкнутым оператором, если его график замкнут. Понятие замкнутого О. особенно плодотворно в случае линейных О. с плотной областью определения.

Понятие графика позволяет обобщить понятие О.: многозначным оператором из X в Y наз. любое подмножество Ав X x Y; если X и Y - векторные пространства, то многозначным линейным О. наз. линейное подпространство X x Y; областью определения многозначного О. наз. множество

D(А) = {хX:существует такой, что {х, у} А}.

Если X - векторное пространство над полем kи Y=k, то всюду определенный О. из Xв kназ. функционалом на X.

Если Х и Y - локально выпуклые пространства, то оператор A из X в Y с плотной в X областью определения имеет сопряженный оператор А* с плотной в Y* в ослабленной топологии областью определения тогда и только тогда, когда А - замкнутый О.

Примеры операторов. 1) О., сопоставляющий любому элементу элемент (нулевой оператор).

2) О., сопоставляющий любому элементу этот же элемент (единичный оператор в Xобозначается idX или 1X).

3) Пусть X - векторное пространство функции на нек-ром множестве М и f - функция на М; О. в X с областью определения


действующий по правилу

Aj=fj

при (А), наз. оператором умножения на функцию; А - линейный О.

4) Пусть X - векторное пространство функций на множестве Ми F - отображение множества Мв себя; О. в X с областью определения


действующий но правилу


при (А), будет линейным О.

5) Пусть X, У - векторные пространства действительных измеримых функций на пространствах с мерой ( М,SM, m) и (N,SN n) соответственно, К-функция на Mx Nx , измеримая относительно произведения мер m x n x m0> где m0- мера Лебега на , и непрерывная по при любых фиксированных , ; О. из Xв Y с областью определения


существующий для почти всех и , действующий по правилу Aj=f при , наз. интегральным оператором; если


то Алинейный О.

6) Пусть X - векторное пространство функций на дифференцируемом многообразии М,x - векторное ноле на М;оператор Ав X с областью определения

D(А) = {:. производная Dxf функции f вдоль поля x определена всюду и DxfX}, действующий по правилу Af=Dxf при , наз. оператором дифференцирования; A - линейный О.

7) Пусть X - векторное пространство функций на множестве М;всюду определенный О., сопоставляющий функции значение этой функции в точке , есть линейным функционал на X; он наз. d-функцией в точке а и обозначается da

8) Пусть G - коммутативная локально компактная группа, - группа характеров группы G; dg, - меры Хаара на G, соответственно; пусть


линейный оператор Аиз X в Y, сопоставляющий функции функцию , определяемую формулой


всюду определен, если сходимость интеграла понимается как сходимость в среднем.

Если Xи Y - топологические векторные пространства, то О. в примерах 1) и 2) непрерывны; если в примере 3) пространство Xесть L2(M,SM, m), где m - мера на X, то О. умножения на ограниченную измеримую функцию замкнут и имеет плотную область определения; если в примере 5) пространство X=Y есть гильбертово пространство L2(M,SM, m) и К( х, у,z) =K(x,y)z, где К( х, у).принадлежит L2(Mx M,SM x SM, m x m), то Акомпактен; если в примере 8) пространства X и Y рассматриваются как гильбертовы пространства, то Анепрерывен.

Если A - О. из Xв Y такой, что при , , то можно определить обратный оператор А -1 к А;вопрос о существовании обратного О. и его свойствах связан с теоремой существования и единственности решения уравнения Ax=f;если А -1 существует, то x=A-1f при

Для О. в векторных пространствах можно определить сумму, произведение на число и произведение О. Если А, В- операторы из Xв Y с областями определения D(А).и D(В).соответственно, то суммой операторов Аи Вназ. О., обозначаемый А+В, с областью определения


действующий по правилу

( А + В)x=Ах + Вх

при . Произведением оператора A нa число lназ. О., обозначаемый lA, с областью определения

D(lA) = D(A), действующей по правилу (lА) х=l( Ах)

при . Произведение операторов определяется как композиция отображений: если Аоператор из X в Y, В - оператор из Y в Z, то произведением В к А наз. оператор ВА с областью определения


действующий по правилу

( ВА) х = В( Ах)

при

Если Р - всюду определенный О. в X такой, что РР=Р, то Рназ. проектором в Х; если I - всюду определенный О. в X такой, что II=idX, то I наз. инволюцией в Х.

Теория О. составляет важнейшую часть линейного и нелинейного функционального анализа, являясь, в частности, основным аппаратом теории динамич. систем, представлений групп и алгебр и важнейшим матё-матич. инструментом математич. физики и квантовой механики.

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [4]Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М.,,1962-74;[5] Эдвардс Р. -Э., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; [6] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967.

М. А. Наймарк, А. И. Штерн.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • оператор — Человек/люди, в задачи которого(ых) входят установка, пуск в эксплуатацию, эксплуатация, наладка, поддержание в рабочем состоянии, чистка, ремонт или транспортировка машины. Термин «оператор» распространяется также на работников,… …   Справочник технического переводчика

  • ОПЕРАТОР — (лат. operator, от opus труд.). Производящий операции, врач, имеющий дело с ранами. В машине: главная часть, приводящая в действие. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ОПЕРАТОР 1) врач, производящий… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ОПЕРАТОР — ОПЕРАТОР, математическое понятие, представляющее действие над функцией или переменной. Сам по себе оператор не имеет значения, однако приобретает его, когда дается правило, объясняющее, как данный оператор действует на данную функцию. Например,… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • оператор — (человек оператор) человек, деятельность трудовая коего заключается во взаимодействии с органами управления некоим процессом на базе его модели информационной. Словарь практического психолога. М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998 …   Большая психологическая энциклопедия

  • ОПЕРАТОР — (кинооператор, оператор постановщик) (от лат. operator действующий), в художественном кино один из основных создателей фильма, осуществляющий его съемку. Совместно с режиссером постановщиком определяет идейно художественную направленность фильма …   Энциклопедия кино

  • Оператор — в программировании фраза алгоритмического языка, определяющая законченный этап обработки данных. В состав операторов входят ключевые слова, данные, выражения и др. Различают: атомарные операторы, никакая часть которых не является самостоятельным… …   Финансовый словарь

  • оператор — инструктор; квантор, хирург, телефонист, диспетчер, команда, телефонистка, врач Словарь русских синонимов. оператор сущ., кол во синонимов: 24 • автооператор (1) • …   Словарь синонимов

  • ОПЕРАТОР — 1) математическое понятие, означающее соответствие между элементами двух множеств X и Y, относящее каждому элементу x из X некоторый элемент y из Y. Эквивалентный смысл имеют термины отображение , преобразование , функция . Обычно термин операто …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОПЕРАТОР — ОПЕРАТОР, оператора, муж. 1. Врач хирург, делающий операции. Опытный оператор. 2. То же, что кинооператор (кино). 3. Должностное лицо на железнодорожных станциях, принимающее по телефону распоряжения диспетчера и сообщающее ему сведения о… …   Толковый словарь Ушакова

  • Оператор — [operator] 1. В общем смысле правило, переводящее некоторый объект, систему из одного состояния в другое; элемент решения задачи. 2. Соответствие между элементами двух множеств X и Y, относящее каждому элементу x из X некоторый элемент y из Y.… …   Экономико-математический словарь

  • Оператор — А. Юридическое лицо, совершающее операции на бирже. Б. Лицо, работающее на техническом устройстве, компьютере и выполняющее определенный набор действий, операций. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

Книги

Другие книги по запросу «ОПЕРАТОР» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.