ОБЪЕМНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ


ОБЪЕМНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

- выражение вида

где D- конечная область евклидова пространства ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова - фундаментальное решение оператора Лапласа,

- площадь единичной сферы в - расстояние между точками хи у, - элемент объема D.

Если то О. п. определен для всех . При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению т. е. является гармонической функцией;при . эта функция регулярна на бесконечности, В области DО. п. и(х). принадлежит классу и удовлетворяет Пуассона уравнению.

Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона Изучены также свойства О. п. произвольной меры Радона, сосредоточенной на N-мерной области D:

Здесь также почти всюду в D. где - производная меры m по мере Лебега в . В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса ; при этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой (см. [2]-[4]).

О. п. применяется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида

где - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в :

- плотность. Функция и ее обобщения на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] - [6]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский Л. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [4] Смирнов В. И.. Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 196В.

Е. Д. Соломецев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ОБЪЕМНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ" в других словарях:

  • Потенциал Кулона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • Потенциал Ньютона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • ПОТЕНЦИАЛ — потенциальная функция, одна из характеристик векторного поля. Скалярный потенциал скалярная функция v(M).такая, что a=gradv(M).во всех точках области задания поля а (М).(иногда, напр, в физике, П. наз. величину, противоположную по знаку). Если… …   Математическая энциклопедия

  • Ньютонов потенциал — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|−1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 …   Википедия

  • Кулонов потенциал — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ — в шороком смысле потенциал с ньютоновым ядром где расстояние между точками хи уевклидова пространства т. е. интеграл вида где интегрирование производится по нек рой мере Радона на с компактным носителем S. В случае неотрицательной меры Н. п. (1)… …   Математическая энциклопедия

  • ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ — в первоначальном понимании учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном (I. Newton, 1687), речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные… …   Математическая энциклопедия

  • ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИИ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ — задачи, в к рых требуется найти форму и плотности притягивающего тела по заданным значениям внешнего (внутреннего) потенциала этого тела (см. Потенциала теория). В другой постановке одна из таких задач состоит в отыскании такого тела, чтобы его… …   Математическая энциклопедия

  • КИРХГОФА ФОРМУЛА — Кирхгофа интеграл, формула которая выражает значение и( х, t )решения неоднородного волнового уравнения в любой точке х=( х 1, х 2, x3 )ОWв момент времени tчерез запаздывающий объемный потенциал с плотностью f и через значения функции и( у, t )и… …   Математическая энциклопедия

  • ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными, к рому удовлетворяет объемный потенциал внутри областей, занятых создающими этот потенциал массами. Для ньютонова потенциала в пространстве , и логарифмического потенциала в П. у. имеет вид где… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.