НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

- одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р.", принадлежащий К. Пирсону (К. Pearson) (более старые названия Гаусса закон, Гаусса- Лапласа распределение), применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов), а также случай ных элементов и случайных процессов. Общее определение Н. р. сводится к одномерному случаю.

Распределение вероятностей случайной величины Xназ. нормальным, если оно имеет плотность вероятности

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров и >0. При этом математич. ожидание Xравно а, дисперсия Xравна , а характеристич. функция имеет вид

Кривая Н. р.симметрична относительно ординаты, проходящей через точку и имеет в этой точке единственный максимум, равный С уменьшением кривая Н. р. становится все более островершинной. Изменение апри постоянном не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой Н. р., всегда равна единице. При соответствующая функция распределения равна

В общем случае функция распределения Н. р. (*)

может быть вычислена по формуле Для функции (и нескольких ее производных) составлены обширные таблицы (см., напр., [1] , [2] и ст. Интеграл вероятности). Для Н. р. вероятность неравенства равная убывает весьма быстро с ростом к(см. табл.).

Во многих практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих ,- т. н. правило трех сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно

Н. <р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретич. обоснование исключительной роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснен следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из к-рых мала по сравнению со всей суммой (см. Центральная предельная теорема).

Н. р. может появляться также как точное решение нек-рых задач (в рамках принятой математич. модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классич. примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (С. Gauss, закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (J. М axwell, закон распределения скор остей молекул) (см. также Независимость, Характеризационная теорема).

Распределение случайного вектора или совместное распределение случайных величин наз. Н. р. (многомерным нормальным), если при любом фиксированном скалярное произведение имеет или Н. р.,

или равно константе (как иногда говорят, имеет Н. р. с дисперсией, равной нулю). Для случайных элементов со значениями из какого-либо векторного пространства Еэто определение сохраняется с заменой tна любой элемент lсопряженного пространства и скалярного произведения (t, X )на линейный функционал l(Х). Совместное распределение нескольких случайных величин имеет характеристическую функцию

- неотрицательно определенная квадратичная форма и - ковариационная матрица вектора X. В случае положительной определенности соответствующее Н. р. имеет плотность вероятности

где - квадратичная форма, обратная , параметры равны математич. ожиданиям соответственно, а постоянная

Общее количество параметров, задающих Н. р., равно

и быстро растет с ростом п. (оно равно 2 при n=1, 20 при п=5и 65 при n=10). Многомерное Н. р. служит основной моделью многомерного статистического анализа. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматриваются Н. р. в бесконечномерных пространствах, см. Случайный элемент, а также Винера мера, Винеровский процесс, Гауссовский процесс).

Из важных свойств Н. р. необходимо отметить следующие. Сумма Xнезависимых случайных величин Х ₁ и Х ₂, имеющих Н. р., имеет Н. р.; обратно, если Х=Х ₁+Х ₂ имеет Н. р. и Х ₁ и X₂ независимы, то X₁ и Х ₂ имеют Н. р. (теорема Крамера). Это свойство обладает определенной "устойчивостью": если распределение X"близко" к Н. р., то и распределения X₁ и Х ₂"близки" к Н. р. С Н. р. связаны нек-рые другие важные распределения (см. Логарифмически нормальное распределение, Нецентральное "хи-квадрат" распределение, Стьюденша распределение, Уишарта распределение, Фишера z-распределение, Хотеллинга Т ² -распре-селение, чХи-квадрат" распределение). Для приближенного представления распределений, близких к Н. р., широко применяются ряды типа Эджворта рядов и Грама- Шарлъе рядов.

О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. ст. Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы статистики. См. также Вероятностная бумага.

Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее нормированных производных, М., 1960; [3] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [5] Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [6] Их же, Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

Ю. В. Прохоров.