НИКОЛЬСКОГО ПРОСТРАНСТВО

- банахово пространство , состоящее из функций, определенных на открытом множестве n-мерного евклидова пространства и обладающих определенными разностно-дифференциальными свойствами, характеризующимися вектором в метрике Введены С. М. Никольским.

Н. п.можно описать в терминах свойств разностей от частных производных порядка по переменной

, где - целое,

если через обозначить разность порядка с шагом по переменной x_i функции f, то

тогда и только тогда, когда функция f имеет в W обобщенные частные производные

и при имеет место неравенство

а при - неравенство

где - множество точек удаленных от границы множества больше чем на - произвольно.

Пространство определяется как объединениевсех при всевозможных

Если , то при любых Н. п. не пусто и в нем существуют функции, не принадлежащие Н. п.

ни при каком и ни при каком i=l, 2, ..., п.

В случае , не целых r_i и непрерывности рассматриваемых производных Н. п. является гёльдеровым пространством. Понятие Н. п. обобщается на случай функций, определенных на достаточно гладких многообразиях (см. [2]).

Имеется описание Н. п. в терминах свойств разностей от частных производных, меньших чем порядков, в частности в терминах свойств разностей достаточно высокого порядка от самой функции.

Пусть - изотропное пространство, т. е. r₁= ... = r_n=r. Если область такова, что любую функцию f класса можно продолжить с сохранением класса на все пространство , т. е. так, что продолженная функция будет принадлежать классу (это всегда имеет место, если граница области достаточно гладкая), то для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для любых целых неотрицательных к ч s таких, что у функции f существовали все частные производные порядка s и существовала постоянная для к-рой выполнялись неравенства

где - разность k- гопорядка с векторным шагом hот функции . Условие (1) эквивалентно аналогичному условию для модуля непрерывности производной : существует такое M>0, что

где

Если для функции через M_f обозначить нижнюю грань всех M, для к-рых выполняется условие (1) для всех и всех частных производных допустимого порядка .s, то

является нормой в Н. п., причем нормы, получающиеся при различных допустимых парах k, s, эквивалентны между собой.

Н. п., состоящее из функций, определенных на всем пространстве , можно охарактеризовать в терминах наилучших приближений функций из этого пространства с помощью целых функций экспоненциального типа. Пусть - наилучшее приближение в метрике L_p(Rⁿ )функций при помощи целых функций экспоненциального типа степеней соответственно по переменным . Для Н. п. справедливы следующие прямая и обратная теоремы типа теорем Бернштейна, Джексона, Зигмунда.

Если функция то для любых выполняется неравенство

(постоянная с>0 не зависит от функции f).

Наоборот, если для функции выполняется неравенство (2) для 2, ..., п, и qявляется целой функцией степени единица по каждой из переменных для к-рой

(она существует в силу (2) при k=0), то

причем постоянные с>0 в (2) и с _i>0 в (3) не зависят от M _i , i=l, 2, ..., п.

В случае периодической по всем переменным функций f аналогичное описание Н. п. делается посредством наилучших приближений функций через тригонометрия, полиномы вместо целых функций экспоненциального типа (см. 11], [4]).

Н. п. могут быть описаны с помощью оператора Бесселя - Макдональда, применяемого к нек-рому классу обобщенных функций (см. Вложения теоремы).

Для пространств С. М. Никольским доказаны транзитивные теоремы вложения для разных размерностей и метрик (см. [3] и Вложения теоремы), перенесенные в дальнейшем на более общие классы функций. Эти теоремы показывают, что Н. п. образуют замкнутую систему относительно граничных значений входящих в них функций: следы функций из Н. п. на гладких многообразиях в определенном смысле полностью описываются в терминах Н. п.

Свойства Н. п. дали возможность получить необходимые и достаточные условия разрешимости Дирихле задачи в соответствующих Н. п. в терминах принадлежности граничной функции также к нек-рому Н. п.: для того чтобы гармонич. функция ипринадлежала классу где - ограниченная область в с достаточно гладкой границей необходимо и достаточно, чтобы граничные значения принадлежали к классу . Отсюда при следует, в частности, что если то Дирихле интегралот функции ино области конечен и потому задачу Дирихле можно решить прямым вариационным методом. Из теорем вложения для Н. п. следует, что если для функции иее интеграл Дирихле по области конечен, то (см. [6]).

Обобщением Н. п. является пространство Бесова

Лит.:[1] Никольский С. М., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 244 - 78; [2] его же, "Матем. сб.", 1953, т. 33, № 2, с. 261-326; [3] его же, "Докл. АН СССР", 1958, т. 118, № 1, с. 35-37; [4] его же, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [5] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1975; [6] Никольский С. М., "Докл. АН СССР", 1953, т. 88, в. 3, с. 409 - 11.

Л. Д. Кудрявцев.