НЕТЕРОВ ОПЕРАТОР

- линейный оператор, одновременно n-нормальный и d-нормальный (см. Нормально разрешимый оператор). Иначе говоря, Н. о. А- это нормально разрешимый оператор с конечной d-характеристикой . Индекс Н. о. Атакже является конечным числом. Простейший пример Н. о.- линейный оператор действующий из в . Название по имени Ф. Нётера [1], с работ к-рого теория Н. о. развивается параллельно теории сингулярных интегральных уравнений. Линейные операторы, порождаемые общими краевыми задачами для эллиптич. уравнений, часто являются Н. о.

На практике обычно удается проверить справедливость следующих предложений (теоремы Нётера):

1) либо уравнение не имеет нетривиальных решений, либо оно имеет конечное число плинейно независимых решений;

2) либо неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части у, либо для его разрешимости необходимо и достаточно, чтобы где - полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения или формально сопряженной однородной задачи.

Из 1), 2) следует, что А- Н. о.

Свойство нётеровости устойчиво: если А- Н. о., а В - линейный оператор достаточно малой нормы или вполне непрерывный, то А+В- также Н. о., при этом

Пусть - пространство линейных операторов из Xв Y, и является Н. о. Тогда имеют место прямые разложения

где N(А) - подпространство нулей А, R(А) - область значений A,dim Z=d(A). Общее решение уравнения , имеет вид на (сужение .4), а '- произвольно. Если А- Н. о. с d-характеристикой ( п, т), то Н. о. с d-характеристикой ( т, п).

Лит.:[1] Noether F., "Math.' Ann.", 1921, Bd 82, S. 42-63; [2] Крейн С. Г., Линейные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971; [3] Вайнберг М. М., Треногин В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969.

В. А. Треногий.