НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ


НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

численные методы решения - итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Под нелинейными уравнениями понимаются (см. [1] - [3]) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х- действительное число,- нелинейная функция, а под системой нелинейных уравнений - система вида

не являющаяся системой линейных алгебраич. уравнений; решением системы (2) является N-мерный вектор . Уравнение (1) и система (2) могут трактоваться как нелинейное операторное уравнение

с нелинейным оператором L, действующим из векторного конечномерного пространства в . Численными методами решения Н. у. (3) наз. итерационные методы, определяемые переходом от уже известного приближения на n-й итерации к новому приближению и позволяющие при достаточно большом числе итераций найти решение уравнения (3) с нужной точностью е. Важнейшие итерационные методы приближенного решения уравнения (3) как относительно общего вида, так и специального вида, характерного для дискретных (сеточных) методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными сильно эллиптич. типа, и являются предметом рассмотрения настоящей статьи. Нелинейные операторные уравнения, связанные с рассмотрением бесконечномерных пространств (см., напр., [4] - [8]), являются весьма широким математич. понятием, содержащим в себе как частные случаи, напр., нелинейные интегральные уравнения и нелинейные краевые задачи. Численные методы их приближенного решения включают в себя также методы их аппроксимации конечномерными уравнениями; эти методы рассматриваются отдельно.

Одним из важнейших методов решения уравнения (3) является метод простой итерации, предполагающий возможность замены уравнения (3) эквивалентной системой

где - элемент конечномерного нормированного пространства , а оператор Р, отображающий в , является оператором сжатия:

Тогда в силу общего принципа сжатых отображений (см. [1] - [4]) уравнение (1) имеет единственное решение, итерационный метод простой итерации

сходится при любом начальном приближении , и для погрешности на n-й итерации справедлива оценка

Пусть нек-рое решение системы (3) удается окружить шаром , и система (3), рассматриваемая вместе с дополнительным условием

эквивалентна системе (4), рассматриваемой вместе с условием (7), причем неравенство (5) справедливо для и любого . Тогда при выборе начального приближения из в методе (6) тоже

гарантируется сходимость к с оценкой погрешности

Для дважды непрерывно дифференцируемых функций при наличии хорошего начального приближения к решению системы (2) часто эффективным методом повышения точности является метод Ньютон а- Канторовича. В этом методе уравнение из (2), определяющее нек-рую поверхность , заменяется уравнением касательной плоскости к , проводимой через точку , где - ранее полученное приближение к решению (2) (см. [1] - [5]). При нек-рых дополнительных условиях метод Ньютона - Канторовича приводит к оценке погрешности типа

где и - нек-рые константы. На каждой итерации этого метода необходимо решать систему линейных алгебраич. уравнений с матрицей при неизвестных

Иногда эту матрицу сохраняют на нескольких итерациях, иногда производные заменяют разностными аппроксимациями.

Метод Ньютона - Канторовича относится к группе методов линеаризации (3). Другим методом из этой группы является метод секущих (см. [3]).

Большое число итерационных методов (так наз. методов спуска) (см. [1] - [3], [9], [10]) основано на замене задачи решения уравнения (3) задачей минимизации нек-рого функционала I(и). Напр., в качестве I(и)можно взять

В ряде случаев, когда исходные Н. у. сами являлись уравнениями Эйлера для задачи минимизации нек-рого функционала I(и), такая вариационная формулировка задачи является еще более естественной; операторы Lв подобных ситуациях являются градиентами функционалов I(и)и наз. потенциальными операторами (см. [5], [6]). Среди различных вариантов методов спуска можно назвать метод покоординатного спуска, различные градиентные методы и, в частности, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов и др., а также и их модификации (см. [2] , [9], [10] и др.). Ряд итерационных методов для решения уравнений (3), описывающих нек-рое стационарное состояние, можно трактовать как дискретизации соответствующих нестационарных задач. Поэтому методы из этого класса называют установления методами (см., напр., [2]). Примером таких нестационарных задач являются задачи, описываемые системой обыкновенных дифференциальных уравнении:

Введение дополнительной независимой переменной характерно и для метода дифференцирования по параметру (см. [5], [11]). Его суть состоит во введении вспомогательного параметра выборе непрерывно дифференцируемых функций и замене системы (2) на систему

при система (9) должна легко решаться, а функции должны совпадать с Система (9), вообще говоря, определяет как функцию от , и искомое решение системы (2) совпадает с . Если систему (9) продифференцировать по , то получится система обыкновенных дифференциальных уравнений

Если на отрезке решить для нее задачу Коти с начальным условием, являющимся решением системы

то будет найдено и нек-рое решение системы (2). Дискретизация (10) по и приводит к численному методу для решения системы (2).

В методе продолжения по парапетру система (9) решается при причем при каждом указанном значении применяется нек-рый итерационный метод с начальным приближением, совпадающим с приближенно полученным решением системы при предыдущем значении . Оба названных метода по сути дела являются итерационными методами решения системы (2) со специальной процедурой нахождения хорошего начального приближения.

Для случая систем большую трудность представляет задача локализации решения. Так как большинство итерационных методов сходится лишь при наличии достаточно хорошего приближения к решению, описанные выше два метода часто позволяют избавиться от необходимости непосредственной локализации решения. Для локализации также часто используются теоремы, основанные на топологич. принципах и монотонности операторов (см. [4] - [8]).

Для решения уравнений (1), являющихся простейшими частными случаями (3), число известных и применяемых на практике итерационных методов очень велико (см., напр., [1] - [3], [12]). Помимо уже рассмотренных можно указать, напр., итерационные методы высших порядков (см. [1]), включающие в себя метод Ньютона как частный случай, и большое число итерационных методов, специально ориентированных на нахождение действительных или комплексных корней многочленов

где - действительные или комплексные числа (см. [1], [12]).

Проблема локализации решения уравнения (1) сводится к отысканию интервала, на концах к-рого непрерывная функция принимает значения разных знаков. Для случая, когда является многочленом, она теряет свою остроту, т. к. известны теоретич. оценки (см. [1]) и имеются методы нахождения всех корней с нужной точностью без задания хороших приближений к ним (см. [12]).

Итерационные методы для решения уравнений (3), возникающих в сеточных аналогах нелинейных краевых задач для уравнений с частными производными, являются частными случаями методов решения сеточных систем (см., напр., [3], [13] - [18]). Одним из наиболее интенсивно применяемых методов решения уравнения (3), вероятно, является модифицированный метод простой итерации, записываемый в виде

Где уравнение (3) рассматривается как операторное уравнение в N-мерном евклидовом пространстве ;

, где S- обозначение множества линейных симметричных и положительных операторов, отображающих H в Н. Целесообразно изучение таких методов проводить не в пространстве H, а в пространстве Н B с новым скалярным произведением:

где - скалярное произведение в Н.

Если оператор Lтаков, что для него выполнены условия строгой монотонности и Липшиц-непрерывности

то уравнение (3) имеет единственное решение, метод (11) при подходящем выборе сходится при любом с оценкой погрешности:

где (см. [13], [15]).

В более общем варианте этой теоремы достаточно требовать выполнения (12), (13) для решения м и всех v, принадлежащих шару и принадлежности этому шару (см. [13]). В этом случае и константы , могут зависеть от R. Для проверки таких условий достаточно, напр., с помощью априорных оценок локализовать и, получая а затем, если (12) и (13) выполнены для любых ии vиз

взять

В (14) константу qможно уменьшить, если оператор Lдифференцируем и для его производной , представленной в виде суммы симметрия, части и кососимметрич. <части L'va известны неравенства

Тогда (см. [11], [13], [15]). Иногда при рассмотрении некоторых типов нелинейностей вместо (12) и (13) целесообразно использовать неравенства типа

(см. [13]). В качестве операторов В в (11) используются, напр., расщепляющиеся разностные операторы (метод переменных направлений) и факторизуемые разностные операторы (попеременно-треугольный метод, метод неполной матричной факторизации) и др. Наиболее привлекательно с асимитотич. точки зрения использование операторов Втаких, что константы или не зависят от размерности пространства HN (см. [13]), а сами операторы Вдостаточно просты. На этом пути удалось в ряде случаев строить итерационные методы, позволяющие находить решение уравнения (3) с точностью при затрате всего (или даже ) арифметич. действий при (см. [13], [14]), если затраты вычислительной работы на вычисление при заданном можно оценить как О (N). При проверке указанных условий типа (12), (13) во многих случаях большую помощь оказывают сеточные (разностные) аналоги теорем вложения С. Л. Соболева (см. [19]). Важно учитывать и специфику нелинейности. Так, напр., для случая, когда где - линейный положительный оператор, а Р- квадратически нелинейный, обладающий свойством "кососимметрич" удается часто получить константу в любом шаре - зависящую только от ; тогда сходимость (11) имеет место для любого (см. [20]). В ряде случаев на основе априорных оценок можно заменить исходную задачу ей эквивалентной, для к-рой нужные условия уже выполняются во всем пространстве (см. [21] ).

Лит.:[1] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [2] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Ортега Дж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [4] Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [5] Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [6] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов, М., 1972; [7] Гаевский X., Грёгер К., Захариас К., Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, пер. с нем., М., 1978; [8] Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с франц., М., 1972; [9] Васильев Ф. П., Лекции по методам решения экстремальных задач, М., 1974; [10] Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М., Численные методы в экстремальных задачах, М., 1975; [11] Яковлев М. Н., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1965, т. 84, с. 8-40; [12] Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; [13] Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 7, № 5, Новосиб., 1976, с. 14-78; [14] его же, в кн.: Вариационно-разностные методы в математической физике. Материалы Всесоюзной конференции, Новосиб., 1978, с. 149-64; [15] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [16] Гловински Р., Лионе Ж.-Л, Тремольер Р., Численное исследование вариационных неравенств, пер. с франц., М., 1979; [17] Келлер Г., в кн.: Разностные и вариационно-разностные методы, Новосиб., 1977, с. 8-36; [18] Кобельков Г. М., "Докл. АН СССР", 1978, т. 243, № 4, с. 843-46; [19] Дьяконов Е. Г., в кн.: Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики, Новосиб., 1972, с. 55-62; [20] его ж е, "Acta Univ. Carolinae. Math, et Phys.", 1974, v. 15, № 1-2, p. 11 - 15; [21] Ривкинд В. Я., Уральцев а Н. Н., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 69- 111.

Е. Г. Дьяконов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • нелинейное уравнение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN nonlinear equation …   Справочник технического переводчика

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — ур ние, в к ром неизвестные величины (числа, ф ции, векторы и т. д.) входят не только линейным образом; противопоставляется линейному уравнению. Примеры Н. у …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у …   Математическая энциклопедия

  • Нелинейное уравнение Шрёдингера — Не следует путать с Уравнение Гросса  Питаевского. Нелинейное или кубическое уравнение Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS))  нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока, уравнение Клейна Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. явля …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона-Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Бюргерса — Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895 1981). Является частным… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.