НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

-числовая последовательность - наилучшее приближение элемента хлинейного нормированного пространства Xэлементами n-мерного подпространства причем так что

Обычно F_n есть линейная оболочка первых пэлементов нек-рой фиксированной системы линейно независимых элементов из X.

В случае, когда - подпространство алгебраич. многочленов степени п-1, Н. п. п. впервые рассматривалась в 50-х гг. 19 в. П. Л. Чебышевым; тот факт, что

для любой функции установлен в 1885 К. Вейерштрассом (К. Weierstrass). В общем случае соотношение

выполняется всегда, когда объединение подпространств всюду плотно в X, т. е.

(по существу это эквивалентные утверждения). Однако последовательность Е( х, F_n )может стремиться к нулю как угодно медленно. Это вытекает из теоремы Бернштейна: если - последовательность подпространств размерности n=1, 2, ... линейного нормированного пространства X, причем и то какова бы ни была монотонно стремящаяся к нулю числовая последовательность существует элемент такой, что 2, ... . В функциональных пространствах Си L_p скорость стремления к нулю Н. п. п. зависит как от системы подпространств F_n, так и от гладкостных характеристик приближаемой функции х(модуля непрерывности, существования производных до определенного порядка и пр.) и может быть оценена через эти характеристики. Обратно, зная скорость стремления к нулю последовательности Е{х, F_n), можно судить о гладкости функции х(t)(см. Приближение функций;прямые и обратные теоремы).

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1954; [2] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [3] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960. Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.