МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

- математическая модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям. Эти критерии могут отражать оценки различных качеств объекта (или процесса), по поводу к-рых принимается решение, или оценки одной и той же его характеристики, но с различных точек зрения. Теория М. з. относится к числу ма-тематич. методов исследования операций.

Формально М. з. задается множеством X"допустимых решений" п набором целевых функций f₁, ... , f_n на X, принимающих действительные значения. Сущность М. з. состоит в нахождении оптимального ее решения, т. е. такого , к-рое в том или ином смысле максимизирует значения всех функций Существование решения, буквально максимизирующего все целевые функции, является редким исключением. Поэтому в теории М. з. понятие оптимальности получает различные и притом нетривиальные истолкования. Содержание теории М. з. состоит в выработке таких концепций оптимальности, доказательстве их реализуемости (т. е. существования оптимальных в соответствующем смысле решений) и нахождении этих реализаций (т. е. в фактич. решении задачи).

Наиболее прямолинейным подходом к решению М. з. является сведение ее к обычной ("однокритериальной") задаче математнч. программирования путем замены системы целевых функций на одну "сводную" функцию В ее роли могут выступать "взвешенные суммы""взвешенные максимумы" и др. "свертки" исходных целевых функций. Такой подход концептуально и технически представляется самым удобным. Основным его недостатком является трудно выполнимое требование содержательной сопоставимости значений различных целевых функций, а также неопределенность (и нередко произвольность) в выборе функции Fи, в частности, "весов". Для их установления нередко рекомендуется прибегать к экспертным оценкам.

Частный случай описанного подхода состоит в выделении "решающего критерия", т. е. в том, чтобы все веса , за исключением нек-рого , полагать равными нулю. Тогда М. з. перейдет в обычную задачу математич. программирования, а множество ее оптимальных решений можно рассматривать как множество допустимых решений новой М. з. с целевыми функциями , В качестве решений М. з. можно рассматривать решения, оптимальные по Парето, т. <е. решения, не поддающиеся улучшению по какому-либо критерию, иначе как за счет ухудшения по другим критериям (иначе говоря, такие , что для любого из следует при нек-ром у). Недостатком этого подхода является множественность оптимальных по Парето решений. Этот недостаток преодолевается предложенным Дж. Нашем (J. Nash) методом "арбитражных решений", существенно ограничивающим число выбираемых решений среди оптимальных по Парето содержательных соображений нек-рых минимальных допустимых значений и в последующем нахождении допустимого х, максимизирующего (см. также Арбитражная схема).

М. з. можно рассматривать как игру (см. Игр теория )и подходить к ее решению на основе различных теоретико-игровых методов. Напр., если допустимое решение хвыбирается с целью максимизировать одну из целевых функций но какую именно - для принимающего решение субъекта неизвестно, то можно воспользоваться взвешенной суммой этих функций, взяв в качестве весов компоненты смешанной стратегии "природы". Возможны трактовки М. з. как бескоалиционной игры, в том числе с позиций кооперативной теории (см. Кооперативная игра), и применения связанных с этим принципов оптимальности.

Лит.:[1] Льюс Р. Д., Райффа X., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961.

Н. Я. Воробьев.