МЕТРИКА


МЕТРИКА

расстояние на множестве X,- определенная на декартовом произведении функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при. любых условиям:

1)тогда и только тогда, когда (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника);

3) (аксиома симметрии).

Множество X, на к-ром может быть введена М., наз. метризуемым. Множество X, наделенное некоторой М., наз. метрическим пространством.

Примеры. 1) На любом множестве имеется дискретная метрика:

2) В пространстве возможны разные М., среди них:

здесь

3) В римановом пространстве М. определяется метрическим тензором или дифференциальной квадратичной формой (в нек-ром смысле это - аналог первой М. из примера 2)). Обобщение М. этого типа см. в ст. Финслерово пространство.

4) В функциональных пространствах над (би)компактом X также вводятся разные М., напр, равномерная метрика

(аналог второй М., из примера 2)), интегральная метрика

5) В нормированном пространстве над М. определяется через норму :

В нормированном кольце - более сложная формула:

6) В метрич. пространстве вводится другая М.- т. н. внутренняя метрика.

7) В пространстве замкнутых подмножеств метрич. пространства определяется хаусдорфова метрика.

Следует заметить, что в традиционном определении М. условие 3) и требование неотрицательности излишни, т. е. вытекают уже из достаточности условия 1) и условия 2).

Если вместо 1) выполняется лишь условие: , если (так что при не всегда ), функция наз. псевдометрикой [2], [3], или отклонением [4].

М. (и даже псевдометрика) позволяет определить ряд дополнительных структур на множестве X.

Прежде всего, это - топология (см. Топологическое пространство), кроме того - равномерная (см. Равномерное пространство )или близостная (см. Близости пространство )структуры. Термин М. используется также и для обозначения более общих понятий, к-рые не обладают всеми свойствами 1) - 3), таковы, напр., индефинитная метрика, симметрика и т. д.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Келли Д ж.-Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [3] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1, М., 1966; [4] Бурбаки Н., Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975.

М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "МЕТРИКА" в других словарях:

  • Метрика — имеет несколько значений: В математике Метрика  функция, определяющая расстояния в метрическом пространстве. Метрика  альтернативное название метрического тензора, в частности Метрика пространства времени  4 тензор, который… …   Википедия

  • МЕТРИКА — (греч. metrike наука о мере) 1) учение о стихосложении и размерах стихов. 2) в применении к музыке: учение о ритмическом размере тонов. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МЕТРИКА (греч.). 1)… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • МЕТРИКА — 1. МЕТРИКА1, метрики, мн. нет, жен. (греч. metrika). 1. Учение о стихотворных размерах, употребляемых в той или иной литературе. Учебник метрики. || Сами стихотворные размеры в их совокупности. Русская метрика разнообразна. || Построение стиха… …   Толковый словарь Ушакова

  • МЕТРИКА — 1. МЕТРИКА1, метрики, мн. нет, жен. (греч. metrika). 1. Учение о стихотворных размерах, употребляемых в той или иной литературе. Учебник метрики. || Сами стихотворные размеры в их совокупности. Русская метрика разнообразна. || Построение стиха… …   Толковый словарь Ушакова

  • Метрика — учение о метре стиха. Формалистический термин, по существу лишенный содержания: в широком смысле ему соответствует стихосложение, у же учение о ритме стиха, т. е. ритмика. В обоих случаях М. представляет собой просто параллельный термин; однако… …   Литературная энциклопедия

  • метрика — выпись, метрическое свидетельство, свидетельство о рождении, детский паспорт Словарь русских синонимов. метрика см. свидетельство о рождении Словарь синонимов русского язык …   Словарь синонимов

  • метрика — 1. МЕТРИКА, и; ж. [греч. metrikē] 1. Лит. Учение о стихосложении и стихотворном размере. // Построение стиха, стихотворения с точки зрения размера. 2. Муз. Учение о метре (2.М.; 2 зн.). ◁ Метрический, ая, ое. М ое стихосложение. М ие такты. 2.… …   Энциклопедический словарь

  • метрика — и, ж. métrique f. , нем. Metrik, англ. metrics. 1. Учение о стихосложении. || Совокупность стихотворных размеров. БАС 1. 2. Учение о соразмерности частей музыкального произведения. БАС 1. Лекс. Толль 1864: метрика; Уш. 1938: ме/трика …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • МЕТРИКА — математический термин, обозначающий формулу или правило для определения расстояния между любыми двумя точками (элементами) данного пространства (множества) …   Большой Энциклопедический словарь

  • МЕТРИКА — в музыке 1) совокупность всех проявлений метра в музыке или конкретном музыкальном произведении.2) Учение о музыкальном метре …   Большой Энциклопедический словарь

  • МЕТРИКА — раздел стиховедения …   Большой Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.