ЛИ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

а л г е б р а Л и группы Л и G, определенной над полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, -алгебра Ли группы G, рассматриваемой как Ли локальная группа. Таким образом, как векторное пространство отождествляется с касательным пространством к G в точке е. Операция умножения [ , ] в алгебре Ли может быть определена любым из следующих эквивалентных способов,

1) Пусть ad - дифференциал присоединенного представления группы G. Тогда ad X для любого вектора является линейным преобразованием пространства причем для любого

2) Пусть Xи - два касательных вектора к G в точке е к х(t).и у(t) - гладкие кривые в G, для к-рых Xи Yявляются касательными векторами при t=0. Тогда [X, Y]есть касательный вектор при s=0 к кривой где a s²=t.

3) Пусть U(G) - ассоциативная k-алгебра обобщенных функций на Gс носителем в е и с умножением, определяемым сверткой*. Пространство отождествляется с множеством примитивных элементов в биалгеб-ре U(G).и для любых X, вектор . также лежит в Тогда X*Y-Y*X=[X, Y].

4) Пусть - векторное пространство всех векторных полей на G, инвариантных относительно левых сдвигов на элементы из G. Сопоставление векторному полю его значения в точке является изоморфизмом векторных пространств и С другой стороны, всякому векторному полю сопоставляется левоинва-риантное дифференцирование k-алгебры Ааналитич. функций на G по формуле для любых и это сопоставление является изоморфизмом пространства с векторным пространством Dвсех левоинвариантных дифференцирований алгебры А. Для любого через обозначается лево-инвариантное векторное поле, для к-рого (L_X)_e=X. Если X, то произведение [X, Y]может быть определено как такой вектор из что поле L[X,Y] задает дифференцирование алгебры А.

Пример. Пусть G - аналитич. руппа всех невырожденных матриц порядка п с коэффициентами в k. Тогда касательное пространство к G в единице отождествляется с пространством всех матриц порядка пскоэффициентами в k, а структура алгебры Ли на определяется формулой [X, Y]=XY-YX.

Сопоставление аналитич. руппе ее алгебры Ли обладает важными функториальными свойствами и в значительной степени сводит изучение аналитич. рупп к изучению их алгебр Ли. А именно, пусть G₁ и G₂ - аналитич. руппы с алгебрами Ли - аналитич. омоморфизм. Тогда гомоморфизм алгебр Ли. Ли а. а. г. изоморфна Если - Ли а. а. г. G, Н - подгруппа Ли в G (см. Ли группа).и - Ли а. а. г. Н, то - подалгебра в причем, если H нормальна, то - идеал в Пусть характеристика поля kравна 0. Алгебра Ли пересечения подгрупп Ли совпадает с пересечением их алгебр Ли. Алгебра Ли ядра гомоморфизма аналитич. рупп есть ядро гомоморфизма их алгебр Ли. Алгебра Ли факторгруппы G/H, где Н - аналитич. нормальная подгруппа в G, есть фактора-лгебра алгебры Ли группы Gпо идеалу, отвечающему подгруппе Н. Если - Ли а. а. г. G - подалгебра в G, то существует единственная связная подгруппа Ли с алгеброй Ли при этом Нне обязательно замкнута в G. Ли а. а. г. разрешима (нильпотентна, полупроста) тогда и только тогда, когда сама группа разрешима (нильпотентна, полупроста).

Указанная связь между категориями аналитич. рупп и алгебр Ли не является все же, в отличие от случая локальных групп Ли, эквивалентностью этих категорий. А именно, неизоморфные аналитич. руппы могут иметь изоморфные алгебры Ли. Аналитич. группы с изоморфными алгебрами Ли наз. локально изоморфны м и. В случае поля kнулевой характеристики каждой конечномерной алгебре Ли над kотвечает нек-рый класс локально изоморфных аналитич. рупп. Пусть или С. Среди всех локально изоморфных аналитич. рупп имеется единственная с точностью до изоморфизма связная и односвязная группа; категория аналитич. рупп такого типа эквивалентна категории конечномерных алгебр Ли над k. В частности, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован аналитич. омоморфизмом соответствующих связных и односвязных аналитич. рупп. Любая связная группа Ли, локально изоморфная данной связной и односвязной группе Ли G, имеет вид G/D, где D - дискретный нормальный делитель, лежащий в центре группы G.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2]П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли. пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [5] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948. В. Л. Попов.