КОМПЛЕКСНЫЙ ТОР


КОМПЛЕКСНЫЙ ТОР

- комплексная абелева группа Ли, получаемая из re-мерного комплексного пространства С n факторизацией по решетке ГМС n ранга 2п. К. т.- это единственные связные компактные комплексные группы Ли [1]. Каждое эрмитово скалярное произведение в С n определяет на Т=С n кэлерову метрику, инвариантную относительно сдвигов. К. т. могут быть охарактеризованы также как единственные компактные кэлеровы параллелизуемые многообразия [2]. Группа автоморфизмов комплексного многообразия Тсовпадает с голоморфом группа Т как комплексной группы Ли.

Голоморфные р-формы на К. т. Тимеют вид

где , a z1, . .., zn- координаты в С n, и кольцо когомологий Дольбо естественно изоморфно (см. [1]).

Как вещественные группы Ли все n-мерные К. т. являются 2n-мерными торами и изоморфны между собой при фиксированном п. С точки зрения комплексной структуры положение гораздо сложнее. Базис решетки можно задать матрицей W. размера наз. матрицей периодов тора Т=С n/Г. Торы Ti=Cni с матрицами периодов Wi(i=1, 2) изоморфны между собой (как комплексные группы Ли или как комплексные многообразия) тогда и только тогда, когда существуют такие матрицы и ZGL(2n, Z), что W2=CW1Z.

Матрицу периодов любого n-мерного тора можно привести к виду ||EA||, где Im|A|>0. Торы с матрицами такого вида образуют голоморфное семейство, дающее эффективно параметризованную версальную деформацию любого n-мерного К. т., зависящую от п 2 параметров [3]. В частности, при n=1 пространство параметров есть верхняя полуплоскость Im a>0 и множество классов изоморфных одномерных К. т. отождествляется с фактором {Im а>0}/D, где D - модулярная группа.

К. т., являющиеся алгебраич. многообразиями, наз. абелевими многообразиями. К. т. С n/Г - абелево многообразие тогда и только тогда, когда в С" существует эрмитово скалярное произведение, мнимая часть к-рого целочисленна на В терминах матрицы периодов это условие выражается как условие Римана - Фробеннуса: должна существовать такая кососнмметрич. матрица что WQW' =0 и что положительно определена. При n=1 эти условия всегда выполнены; соответствующие алгебраич. кривые суть эллиптические кривые. Матрица периодов

дает пример двумерного К. т., не являющегося абелевым многообразием. На этом торе не существует даже непостоянных мероморфных функций [5]. Необходимым и достаточным условием алгебраичности n-мерного К. т. является также наличие на нем палгебраически независимых мероморфных функций.

Интерес к К. т. возник в 19 в. в связи с изучением абелевых функций, а также Якоби многообразий алгебраич. кривых. С любым n-мерным компактным кэлеровым многообразием Мсвязан набор n К. т.- его многообразий Якоби, к-рые являются абелевыми многообразиями, если Малгебраично [7].

Лит.:[1] Мамфорд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [2] Wang Н. С, "Рrос. Amer. Math. Soc." 1954, v. 5, p. 771-76; [3] Коdairа К., Spenсer D. C, "Ann. Math.", 1958, v. 67, p. 328 - 466; [4] Вейль А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [5] Зигель К. л., Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954; [6] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [7] Чжень IIIэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961.

А. Л. Онищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КОМПЛЕКСНЫЙ ТОР" в других словарях:

  • TOP — тело, полученное от вращения замкнутого круга вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга и его не пересекающей. Центр круга описывает окружность, наз. осевой окружностью Т., ее центр наз. центром Т. Плоскость осевой окружности Т. наз.… …   Математическая энциклопедия

  • КУБИЧЕСКАЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ — проективное алгебраич. многообразие, задаваемое однородным уравнением 3 й степени с коэффициентами из нек рого основного поля k. Кубические кривые. Неприводимая кубич. кривая является либо гладкой (в этом случае ее канонич. класс равен 0, а род… …   Математическая энциклопедия

  • ТИТСА РАССЛОЕНИЕ — голоморфное расслоение компактного связного однородного комплексного пространства Xнад однородным проективным рациональным многообразием D, универсальное в классе всех таких расслоений. Универсальность в данном случае означает, что проекция… …   Математическая энциклопедия

  • КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ — комплексное многообразие, на к ром можно ввести Кэлера метрику. Иногда такие многообразия на …   Математическая энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… …   Математическая энциклопедия

  • АБЕЛЕВО МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическая группа, являющаяся полным алгебраическим многообразием. Условие полноты накладывает сильные ограничения на А. м. Так, А. м. можно вложить в качестве замкнутого подмногообразия в проективное пространство, каждое рациональное… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с коммутативными кольцами: алгебраические многообразия и их различные обобщения ( схемы, алгебраические пространства и др.). В наивной формулировке предмет А. г. составляет изучение… …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА — группа Г всех дробно линейных преобразований вида где целые рациональные числа. М. г. отождествляется с факторгруппой , и является дискретной подгруппой в группе Ли . Здесь (соответственно ) группа матриц действительные (соответственноцелые)… …   Математическая энциклопедия

  • Абелево многообразие — Абелево многообразие  это полное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой. Эллиптическая кривая является абелевым многообразием размерности один. При n > 1 абелево многообразие, как топологическое пространство… …   Википедия

  • Авиасимуляторы — Чешский симулятор полёта TL39 с тремя степенями свободы Авиасимулятор симулятор полёта на каком либо воздушном судне. Существенно различаются в зависимости от предназначения: от механико электронных устройств с приборной панелью и передней частью …   Википедия

Книги

  • Журнал «Мир ПК» № 09/2010, Мир ПК. В номере: Доступная портативность. Тестирование ноутбуков стоимостью до 1000 долл Не так давно, всего лишь год назад (см. «Мир ПК», № 9/09), тестируя так называемые бюджетные ноутбуки, мы… Подробнее  Купить за 109 руб электронная книга


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.