- КИРХГОФА ФОРМУЛА
Кирхгофа интеграл,- формула
которая выражает значение и( х, t )решения неоднородного волнового уравнения
в любой точке х=( х 1, х 2, x3 )ОWв момент времени tчерез запаздывающий объемный потенциал
с плотностью f и через значения функции и( у, t )и ее производных 1-го порядка на границе а области W. в момент времени t=t-r. Здесь W - ограниченная область трехмерного евклидова пространства с кусочно гладкой границей s, п- внешняя нормаль к s, r=|х- у|- расстояние между точками хи у. Пусть
где
Интегралы v1(x, t )и v2(x, t )наз. запаздывающими потенциалами простого и двойного слоев.
К. ф. (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение и( х, t )уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объемного потенциала:
В случае, когда и( х, t)=u(x), f(x, t)=f(x)не зависят от t, К. ф. принимает вид
и дает решение уравнения Пуассона Du=-f(x).
К. ф. широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если W.- шар
радиуса tс центром в точке х, то формула (1) преобразуется в соотношение
где
- среднее значение функции j(х). по поверхности сферы |у-x|=t,
Если j(x) и y(x) - заданные в шаре
функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a f{x, t )дважды непрерывно дифференцируема при |x|<R,
то функция и( х, t), заданная формулой (3), является регулярным решением Коши задачи(4) для уравнения (2) при |x|<R и t<R -|x|.Формула (3) также наз. К. ф.
К. ф. в виде
для волнового уравнения
примечательна тем, что из нее следует Гюйгенса принцип:решение (волна) и( х, t )уравнения (5) в точке ( х, t )пространства независимых переменных х 1, х 2, х 3, t вполне определяется значениями j, дj/дп и y на сфере |у-x|= t с центром в точке хи радиуса |t|. Пусть дано уравнение нормально гиперболического типа
с достаточно гладкими в нек-рой (т+1)-мерной области Wm+1 коэффициентами aij(x), bj (х), с (х)и правой частью f(x), т. е.
уравнение, форма к-рого в любой точке xОWm+1 с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду
К. ф. обобщена на уравнение (6) в случае, когда число m+1 независимых переменных х 1, ..., х т+1 четно [4]. При этом существенным моментом было построение функции j, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал 1/r. Для частного случая уравнения (6)
обобщенная К. ф. принимает вид
где у - некоторое положительное число, а - кусочно гладкая граница m-мерной ограниченной области Wm, содержащей внутри себя точку у, п- внешняя нормаль к а;
[y] означает запаздывающее значение y( х, t):
Формулу (8) дляуравнения (6) иногда наз. формулой Кирхгофа - Соболева.
Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1976; [3] Bateman H., Partial Differential equations of Mathematical Physics, N. Y., 1944, Camb., 1959; [4] Mathissоn М., "Math. Ann.", 1932, Bd 107, S. 400-19; [5] eго же, "Acta Math.", 1939, v. 71, №3-4, p. 249-82; [6] Mихлин С. Г., Линейные уравнения в- частных производных, М., 1977; [7] Соболев С. Л., "Докл. АН СССР", 1933, т. 1, №6, с. 256-62; [8] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962; [9] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 3 изд., М., 1957; [10] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.
А. М. Нахушев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
