КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА

- приближенная формула для вычисления определенного интеграла:

в левой части стоит интеграл, подлежащий вычислению. Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций. Первая из них р(х)считается фиксированной для данной К. ф. и наз. весовой функцией, функция f(x)принадлежит достаточно широкому классу функций, напр, непрерывных и таких, что интеграл в левой части (1) существует. Сумма в правой части (1) наз. квадратурной суммой, числа xj наз. узлами К. ф., а числа С j - коэффициентами К. ф. Нахождение приближенного значения интеграла с помощью формулы (1) сводится к вычислению квадратурной суммы; при этом значения узлов и коэффициентов обычно берутся из таблиц (см., напр.. [3]).

Наибольшее распространение получили К. ф., основанные на алгебраическом интерполировании. Пусть х 1,. .., xN- попарно различные точки (обычно xi[a,b], хотя это требование не является обязательным) и Р(х)- интерполяционный многочлен функции f(x), построенный по ее значениям в этих точках:

здесь Li(x)- многочлен влияния i-го узла: Li(xj) =dij(dij - символ Кронекера). Интеграл по [а, 6] от p(x)f(x)приближенно заменяется интегралом от р(х) Р{х);получается приближенное равенство вида (1), в к-ром

Существование интегралов в (2) равносильно существованию моментов весовой функции

(здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р(х)существуют, в частности в случае р(х)=1 промежуток [ а, b]считается конечным).

К. ф. (1), коэффициенты к-рой определяются равенствами (2), наз. интерполяционной. Целое число наз. алгебраической степенью точности К. ф. (1), если эта формула точна, когда f(x)- любой многочлен степени выше d, и не точна для f(x)=xd+1. Чтобы К. ф. (1) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы для ее алгебраич. степени точности dвыполнялось неравенство

Пусть р(х)=1 и [a, b]конечен. Интерполяционная К. ф. с равноотстоящими узлами

где n - натуральное число, N=n+l, наз. Ньютона- Котеса квадратурной формулой;такая К. ф. имеет алгебраич. степень точности d=n при пнечетном и d=n+1 при пчетном. Интерполяционная К. ф. с одним узлом

наз. прямоугольников формулой, ее алгебраич. степень точности d=l, когда x=(a+b)/2, и d = 0 в остальных случаях. Пусть

Интерполяционная К. ф. (1), у к-рой узлами являются корни ортогонального на [ а, b]с весом р(х)многочлена степени N, наз. квадратурной формулой гауссова типа; ее называют также квадратурной формулой наивысшей алгебраич. степени точности, так как при условиях (4) никакая К. ф. с Nузлами не может быть точна для x2N. Наиболее употребительны К. ф. гауссова типа, к-рые определяются следующими частными случаями веса р(х) и промежутка [a, b]:

вес Якоби (1-x)a(1+х)b (a>-1, b>-1), [-1, 1] при значениях параметров: а) a=b=0 (Гаусса квадратурная формула), б)( Мелера квадратурная формула), в) a=b=, г)

вес Эрмита е -x2(' );

вес Лагерра х a е -x(a>-1), ().

Существуют К. ф., в к-рых часть узлов заранее фиксирована, а остальные узлы выбираются так, чтобы К. ф. имела наивысшую алгебраич. степень точности. Таковы, в частности, Лобатто квадратурная формула и Радо квадратурная формула для вычисления интеграла по [ - 1, 1] с весом 1. В первой из них фиксированными узлами являются -1, 1, а во второй - одна из этих точек.

Две К. ф. с весом 1

наз. подобными, если tj-c=s(tj-g),Cj=sГ j, j=1, 2, ..., т, где s определяется равенством d-c'=s(d-g). В случае конечного [a, b]

где х i определяются равенствами (3). Если для вычисления интегралов по промежуткам [х;, х i+1]применяются К. ф., подобные одной и той же К. ф., то равенст-

{5) приведет к составной К. ф. для вычисления интеграла, стоящего в левой его части. Такова, напр., составная К. ф. прямоугольников:

В случае b-a=2p эта К. ф. точна для cos kx,sin kx при k = 0,1, . . ., n-1.

Можно рассматривать интерполяционные К. ф., к-рые получаются интегрированием интерполяционного многочлена Эрмита функции f(x). В квадратурную сумму такой К. ф. входит не только значение самой функции в узле, но и значения ее последовательных производных до нек-рого порядка. Значение производных подинтегральной функции на концах промежутка интегрирования используются и в Эйлера- Маклорена формуле.

Для погрешности К. ф. (1)

имеются представления, в к-рые входит производная f(r)(x). Эти представления мало пригодны для фактической оценки R(f), так как при этом требуется оценка производной f(r)(x). Погрешность R(f) является аддитивным и однородным функционалом на векторном пространстве функций, для к-рых она определена.

Другой подход основан на минимизации нормы функционала погрешности R(f) построению К. ф.

Пусть R(f) - погрешность К. ф., к-рая точна для всех многочленов степени не выше r-1, при этом [ а, b]= [0, 1] и р(х)=1, и W(r)q(q>1, r- натуральное число) - векторное пространство функций f(x), к-рые на (0, 1] имеют абсолютно непрерывную производную порядка r-1 и суммируемую со степенью qпроизводную порядка r. Две функции из W{r)q считают эквивалентными, если их разность есть многочлен степени не выше r-1. Множество классов эквивалентности (факторпространство W(r)q по векторному пространству многочленов степени не выше r-1) является векторным пространством, к-рое обозначают В можно ввести норму, полагая для класса

где f - любая функция, принадлежащая г|5. Функционал погрешности К. ф. рассматривают на полагая R(y)=R(f),Функционал R(y) непрерывен в линейном нормированном пространстве Его норма ||R|| характеризует точность К. ф. для всех функций из для любой справедливо неравенство

к-рое является точным. Ясно, что ||R|| есть функция параметров х k, с k, k=i,2, ..., N, К. ф., и естественно -пытаться их выбрать так, чтобы ||R|| принимала наименьшее значение. Это приводит к такой К. ф. (из класса рассматриваемых), погрешность к-рой имеет минимальную оценку для всех функций пространства W(r)q. Таким образом, построение К. ф. сводится к решению экстремальной задачи. Эта задача уже в рассмотренном частном случае весьма сложна и ее решение получено (1978) лишь при r=1 и r=2.

Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [2] Никольский С. М., Квадратурные формулы, 2 изд., М., 1974; [3] Крылов В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга по численному интегрированию, М., 1966.

И. П. Мысовских.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА" в других словарях:

  • КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула, служащая для приближенного вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры квадратурной формулы прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула …   Большой Энциклопедический словарь

  • квадратурная формула — формула, служащая для приближённого вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры квадратурной формулы  прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула. * * * КВАДРАТУРНАЯ… …   Энциклопедический словарь

  • КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Квадратурная формула — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • Квадратурная формула Гаусса — Лагерра — В численном анализе квадратурная формула Гаусса Лагерра, или метода Гаусса Лагерра, это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса. Квадратурная формула Гаусса Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида: рядом по n точкам: где xi это …   Википедия

  • Квадратурная формула Гаусса — В численном анализе квадратурная формула Гаусса  Лагерра, или метода Гаусса  Лагерра,  это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса. Квадратурная формула Гаусса  Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида: рядом …   Википедия

  • НАИВЫСШЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула вида где весовая функция предполагается неотрицательной на и такой, что существуют интегралы при этом Узлами квадратурной формулы (1) являются корни ортогонального на с весом многочлена степени N, а коэффициенты определяются тем, что …   Математическая энциклопедия

  • ГАУССА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — квадратурная формула вида в к рой узлы xi и веса с; подбираются так, чтобы формула была точна для функций где заданные линейно независимые функции (пределы интегрирования могут быть и бесконечными). Г. к. ф. введены К. Гауссом (см. [1]) для… …   Математическая энциклопедия

  • РАДО КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — квадратурная формула наивысшей алгебраич. степени точности для промежутка и веса р(х)=1 с одним фиксированным узлом концом промежутка, напр. 1. Р. к. ф. имеет вид Узлы xj корни ортогонального на [ 1,1] с весом 1+х многочлена Якоби , A=2/(n+1)2.… …   Математическая энциклопедия

  • НЬЮТОНА- КОТЕСА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — интерполяционная квадратурная формула для вычисления интеграла по конечному промежутку [а, b], узлы к рой выбираются следующим образом: где п натуральное число и , число узлов N= n+l. Коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»