КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ


КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ

- расширение степени 2 поля рациональных чисел Q. Любое К. п. имеет вид где т. е. получается присоединением к полю Q элемента тогда и только тогда, когда d1=c2d2, где Поэтому любое К. п. имеет вид где d- целое рациональное число свободное от квадратов, однозначно определяемое этим К. п. В дальнейшем d предполагается именно таким.

При d>0 поле наз. вещественным К. п., а при d<0- мнимым.

В качестве фундаментального базиса поля т. е. базиса кольца целых чисел поля над кольцом целых рациональных чисел Z, можно взять

и

Дискриминант D поля равен соответственно d

при d=1 (mod 4) и 4dпри d=2,3 (mod 4).

Мнимые К. п.- единственный тип полей (кроме Q)с конечной группой единиц. Эта группа имеет порядок 4 для (и образующую порядок 6 для (и образующую порядок 2 (и образующую - 1) для всех остальных мнимых К. п.

Для вещественных К. п. группа единиц изоморфна прямому произведению где - группа порядка 2, порожденная числом -1, и {e} - бесконечная циклическая группа, порожденная основной единицей е. Напр., для поля

Закон разложения простых дивизоров в К. п. допускает простую формулировку: полю можно сопоставить квадратичный характер cна Z по модулю D. Если р - простое число и (D,p)=l, то дивизор (р) прост в при c(р)=- 1, и распадается в произведение двух простых дивизоров при c(р)=1.

Группа классов дивизоров К. п. изучена лучше, чем для других классов полей. В случае мнимых К. п. теорема Бруэра - Зигеля (утверждающая, что для полей алгебраических чисел фиксированной степени выполняется асимптотич. соотношение

где h, R и D- число классов, регулятор и дискриминант поля) показывает, что число классов дивизоров стремится к бесконечности при Имеется ровно 9 одноклассных мнимых К. п. (при d=- 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163, см. [2]). Для, вещественных К. п. неизвестно (1978) конечно или бесконечно число одноклассных полей. Существует бесконечно много К. п. (как мнимых, так и вещественных), число классов к-рых делится на данное натуральное число (см. [3], [4]). Аналогичное свойство для 2-компоненты группы классов следует из теории родов Гаусса.

Абелевы расширения мнимых К. п. в явном виде позволяет строить теория комплексного умножения (см. [5]).

Многиэ арифметич. свойства К. п. допускают переформулировку в терминах теории бинарных квадратичных форм.

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; 12] Stark H. M., "Mich. Math. J.", 1967, v. 14, p. 1-27; [3] Ankenу N. С., Сhowla S., "Pacific. J. Math.", 1955, v. 5, p. 321-24; [4] Jamamоtо J., "Osaka J. Math.", 1970, v. 7, p. 57-76; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969, гл. 13.

Л. В. Кузьмин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • БИНАРНАЯ ДВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — квадратичная форма отдвух переменных, т. е. форма вида если целые числа, Б. к. ф. наз. целочисленной. Выражение наз. определителем, или дискриминантом, Б. к. ф. Иногда под дискриминантом понимается также величина Арифметич. теория Б. к. ф. начата …   Математическая энциклопедия

  • ГОСТ 21934-83: Приемники излучения полупроводниковые фотоэлектрические и фотоприемные устройства. Термины и определения — Терминология ГОСТ 21934 83: Приемники излучения полупроводниковые фотоэлектрические и фотоприемные устройства. Термины и определения оригинал документа: 12. p i n фотодиод D. Pin Photodiode E. Pin Photodiode F. Pin Photodiode Фотодиод, дырочная и …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Еременко Виктор Валентинович — Виктор Валентинович Еременко Дата рождения: 26 июля 1932(1932 07 26) (80 лет) Место рождения: г. Харьков, Украина, СССР Страна …   Википедия

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не… …   Энциклопедия Кольера

  • Программируемые алгоритмы —       Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не устанавл …   Википедия

  • МСанПиН 001-96: Санитарные нормы допустимых уровней физических факторов при применении товаров народного потребления в бытовых условиях — Терминология МСанПиН 001 96: Санитарные нормы допустимых уровней физических факторов при применении товаров народного потребления в бытовых условиях: Вибрация упругие колебания и волны в твердых телах. Определения термина из разных документов:… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ — (брауновское движение), беспорядочное движение малых ч ц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды. Исследовано в 1827 англ. учёным Р. Броуном (Браун; R. Brown), к рый наблюдал в микроскоп… …   Физическая энциклопедия

  • ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая проективная модель аффинной кривой где многочлен без кратных корней, нечетной степени n (случай четной степени сводится к случаю нечетной ). Поле функций на Г. к. (поле гиперэллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля… …   Математическая энциклопедия

  • Норма алгебраического числа — теоретико числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в …   Википедия