ИНДЕКСА ФОРМУЛЫ

- соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек-рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора

(L₀, L₁- топологич. векторные пространства), определяемым формулой

и измеряющим таким образом "разность" между дефектными подпространствами D:его ядром Кеr D=D^-1(0) и его коядром Coker D = L₁/D(L₀), и топологич. индексом - нек-рой топологич. характеристикой оператора Dи пространств L₀, L₁. Для общего эллиптического дифференциального оператора на замкнутом многообразии задача нахождения И. ф. поставлена в конце 50-х гг. 20 в. [1] и решена в 1963 (см. [2]), хотя частные виды И. ф. были известны и ранее: такова, напр., Гаусса- Бонне теорема и ее многомерные варианты. В дальнейшем был получен ряд обобщений И. ф. на объекты более сложной природы; в этих случаях вместо индекса - целого числа - могут фигурировать произвольные комплексные числа и даже функции. Элементарные формулы индекса. 1) Пусть М- дифференцируемая граница ограниченной области А- эллиптический псевдодифференциальный оператор, отображающий пространство дифференцируемых комшгекенозначных вектор-функций на Мсо значениями в С ^р в себя. Пусть В(М)- многообразие касательных векторов к Мдлины ориентированное посредством 2n-формы

где х ¹, . .., х ^п- локальные координаты . на М,x₁, ..., x_n - соответствующие координаты в касательном пространстве, S(M)- ориентированная граница В(М), образованная единичными касательными векторами. В силу эллиптичности Аего символ аявляется невырожденной (р р)-матричной функцией на S(M). Оказывается, что для индекса оператора Аимеет место формула [7]:

где - внешняя степень матричной дифференциальной формы a^-1da, а через Тr обозначен след (р р)-матричной формы. В частности, если р<n или если А- дифференциальный оператор на нечетномерном многообразии, то ind A = 0 (для псевдодифференциального оператора последнее, вообще говоря, неверно).

2) Пусть А- эллиптический дифференциальный оператор вида (здесь a- мультииндекс)

в пространстве В ₁, . . ., В _т/2,- краевые дифференциальные операторы из в вида

Набор операторов { А, В ₁, . . ., B _т/2}задает эллиптическую краевую задачу, если не вырождается на S(M)функция Здесь r_jk - коэффициенты полиномов являющихся остатками от деления l-полиномов b_j(x, l) на l-полином а ⁺(x, l), где

а а ⁺ определяется из разложения а=а ⁺ а ^-, где

x, v - единичные касательный вектор и внутренняя нормаль к Мсоответственно; а ⁺ (соответственно а ^-)- l-полином, не имеющий нулей в верхней (соответственно, нижней) l-полуплоскости. Индексом описанной краевой задачи наз. индекс соответствующего ей линейного оператора из в переводящего в набор {Аи, В₁u|_M, . . ., В _т/2 и|_M}. Оказывается, что индекс эллиптической краевой задачи совпадает с индексом эллиптического псевдодифференциального оператора на М, символом к-рого служит матрица r=(r_jk). В частности, индекс задачи Дирихле равен нулю. Имеются общие И. ф. для граничных задач [16], [17].

Формулы Атьи - Зингера. Пусть и С°° (h).- пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторных расслоений x и h. над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием М, D- (псевдодифференциальный) эллиптич. оператор, действующий из в Топологич. индекс i_t(D)оператора Dопределяется следующим образом. Вследствие эллиптичности символ s(D). оператора Dопределяет изоморфизм поднятий векторных расслоений на S(M):

где p :- расслоение единичных сфер кокасательного расслоения Т*М многообразия М. Пусть В(М)- пространство расслоения единичных шаров в Т*М, это - 2n-мерное многообразие с краем S(M). Склейкой двух экземпляров В ⁺ (М)и В~ (М)многообразия В(М)по их общей границе получается замкнутое 2n-мерное многообразие е(М) = В ⁺U_S(M)B^- , над к-рым строится векторное расслоение

где a s(D). использовано для отождествления x и h вдоль S(M). Это векторное расслоение V(s). несет всю топологич. информацию, нужную для определения топологич. индекса. Именно:

где ch V(s)- когомологический Чжэня характер расслоения V(s).когомологический Тодда класс комплексифицированного кокасательного расслоения

и справа стоит значение 2n-мерной компоненты элемента ch на фундаментальном цикле многообразия [е(М)]. Таким образом, отображение V(s(D))->i_t(D). определяет гомоморфизм тривиальный на образе К(М), здесь К(Х)- Гротендика группа, порожденная комплексными векторными расслоениями над X.

Теорема об индексе Атьи - Зингера:

Формула (2) допускает ряд модификаций. Вводится следующим образом зависящий от символа a(D)рациональный класс когомологий ch [s(D)]:тройке {p*(x), p* (h), s(D)}сопоставляется различающий элемент, к-рый можно рассматривать как первое препятствие к распространению изоморфизма а на все В(М),

где ТМ- касательное расслоение, к-рое (с помощью римановой метрики на М)можно отождествить с Т*М, K{B/S)- относительная группа Гротендика векторных расслоений над B/S, и следовательно - характер Чжэня Теперь формула для топологич. индекса Dпринимает вид:

где л :

Тома изоморфизм

позволяет записать (4) в виде

(в (4) и (5) справа по-прежнему, как и в (2), значения соответствующих элементов на фундаментальных циклах.)

В терминах K-теории топологич. индекс выражается следующим образом. Пусть i:- дифференцируемое вложение М в евклидово пространство, W- трубчатая окрестность Мв Е, к-рую можно рассматривать как действительное векторное расслоение над М, причем TW изоморфно (над R) - комплексификации расслоения W, поднятой на ТМ проекцией я : Композиция изоморфизма Тома с естественным гомоморфизмом индуцированным вложением определяет гомоморфизм i_! : Пусть b: -изоморфизм периодичности Ботта. Тогда гомоморфизм boi_!, :не зависит от вложения, и

Примеры. 3) Пусть М- замкнутое ориентированное риманово многообразие, - расслоение комплексных дифференциальных k-форм над М,

- оператор внешнего дифференцирования и его сопряженный, соответственно.Оператор где эллиптичен, для него справедлива И. ф. ('6), причем топологич. индекс равен эйлеровой характеристикеc(М). (Ходжа - де Рама теорема). При dim M=2 получается теорема Гаусса - Бонне.

4) Пусть - собственные -пространства инволюции I(a)=i^p(p-1)+k*a,где * есть оператор двойственности, определяемой метрикой на М, dim M=2k. Сужение оператора d+d* до оператора из в называемое сигнатурным оператором d_M- эллиптический оператор, для него справедлива ,И. ф. (3), причем аналитич. индекс равен сигнатуре многообразия М, а топологич. индекс равен L-роду (теорема Хирцебруха).

5) Пусть h - голоморфное векторное расслоение над компактным комплексным многообразием М, x^0,q - расслоение дифференциальных форм типа (0, q), - расслоение форм типа (0, q)с коэффициентами в h, z^0,q - С-модуль гладких сечений этого расслоения. Пусть - оператор Коши - Римана - Дольбо, - его сопряженный, Тогда оператор является эллиптическим, и для него справедливо (3), причем аналитич. индекс равен эйлеровой характеристике М с коэффициентами в пучке ростков голоморфных сечений расслоения h, а топологический индекс - где ch h - характер Чжэня расслоения h,- класс Тодда касательного расслоения к М(теорема Римана - Роха - Хирцебруха).

Эллиптические комплексы. В более общей ситуации, естественно возникающей, напр., в дифференциальной геометрии, вместо одного оператора Dрассматривается комплекс (псевдодифференциальных) операторов

где x_j - дифференцируемые векторные расслоения над замкнутым многообразием М, D_j+1D_j = 0. Символом комплекса Аназ. соответствующая последовательность главных символов

где p* (x_j) - поднятие расслоений x_j на S(M)с помощью проекции я : Комплекс Аназ. эллиптическим, если его символ является ациклическим комплексом, т. е. точен всюду вне нулевого сечения. Аналитическим индексом комплекса A наз. его эйлерова характеристика:

где Hi (А)- группы когомологий комплекса А. Двумя важными примерами эллиптич. комплексов являются комплекс де Рама и его комплексный аналог - комплекс Дольбо. Проблема вычисления c(А)через класс комплекса s(А)в К( ТМ )может быть сведена к вычислению индекса для однако оператора [3].

Если компактная группа Gдействует на А(и коммутирует с действием D_j, т. е. Аесть G-комплекс), то H^j (А)будут G-модулями, и c(А). определяется как элемент кольца характеров группы G. Это - функция из Оказывается при этом, что теорема об индексе может рассматриваться как обобщение Лефшеца теоремы о неподвижных точках, поскольку топологич. индекс в точке может быть выражен через индекс сужения символа на подмножество неподвижных точек -отображения, задаваемого элементом g.

Пусть G- топологическая циклическая группа, т. е. в Gсуществует элемент g, степени к-рого плотны в G, N_g- нормальное расслоение к M^g в М, и [s(A)] K_G(TM)- класс символа А. Пусть i*[s(A)](g). К _G(TMS). и - ограничение на M^g его и класса, порожденного стандартным комплексом внешних степеней расслоения соответственно (здесь i:я : ТМ ^g->М ^g). Тогда число Лефшеца L(g, А), равное е(-1)^j Tr(g|H^j(A)), задается формулой:

где ind :_- естественное расширение топологич. индекса Когомологический вариант этой формулы:

Без условия компактности G, но в предположении, что М ^g- нульмерное подмногообразие и действие Gявляется невырожденным (т. е. график gтрансверсален диагонали в М М), имеет место аналогичная формула. Она может быть выражена таким образом. Если то dg(P)оставляет на место ТМ| _Р,a gиндуцирует в слое x_j|_P линейное преобразование l_j(g, P), и

Возможно, наконец, ослабление условия эллиптичности G-комплекса Арассмотрением так наз. трансверсально эллиптических комплексов; в этом случае индекс оказывается обобщенной функцией на группе G(cm. [8]). В частности, если G- конечна, то трансверсальная эллиптичность эквивалентна эллиптичности, так что применимы прежние формулы. Если M=G/H- однородное пространство, то все комплексы операторов трансверсально эллиптичны, и здесь И. ф. по существу совпадает с Фробениуса формулой взаимности для индуцированных представлений группы G.,

Нефредгольмовы операторы. В этом случае также иногда удается дать другое определение аналитич. индекса и получить соответствующие И. ф.

Примеры: 6) Пусть D- равномерно эллиптич. оператор на Rⁿ с почти периодич. коэффициентами. Аналитич. индекс i_a(D)вводится с помощью относительной размерности в II-факторе (см. Неймана алгебра )и является действительным числом (см. [11]). Имеет место формула, аналогичная (1), но вместо интеграла по Rⁿ в ней используется среднее значение почти периодич. функции.

7) Пусть на многообразии Мсвободно действует дискретная группа F' и факторпространство компактно; пусть x, h - векторные расслоения над Ми Г действует на них согласованно с ее действием па М. Для эллиптич. оператора D:на М, перестановочного с действием Г, аналитич. индекс определяется формулой

где Р ₁, Р ₂- ортогональные проекторы на Ker Dи на Кеr D* в L²(M, dm),dm - любая Г-инвариантная гладкая плотность на М, а Тг _Г Р для оператора Р, перестановочного с Г и имеющего гладкое ядро Р( х, у), определяется формулой

(здесь М ₀- любая фундаментальная область группы Г на М,tr - след матрицы). Оказывается, что i_a(D)) = где - оператор на символ к-рого s(D). индуцирует s(D). при поднятии на Мс помощью канонической проекции p : [12]. Таким образом И. ф. для оператора Dможет быть получена из И. ф. для оператора Dна компактном многообразии М. Этот результат позволяет обнаруживать нетривиальность пространств, в к-рых реализуются представления дискретных серий [13].

8) Если коэффициенты равномерно эллиптического оператора Dна Rⁿ образуют однородное измеримое случайное поле, то можно ввести аналитич. индекс i_a(D), являющийся случайной величиной (в эргодическом случае - действительным числом), определяемой по формуле (7) с заменой Тr _Г Р на ТтР, где ТrР строится по ядру Р( х, у )оператора Рчерез среднее значение по х:Тг Р=М _x{tr Р( х, х)}. Этот пример - обобщение (х6) и для него имеет место [14] аналогичная И. ф.

Если дано семейство эллиптических операторов, параметризованное точками укомпактного пространства Y, то определен его аналитич. индекс (см. [15]). Топологич. индекс it(D)строится аналогично формуле (6) (все построения делаются "послойно" над Y). и имеет место теорема об индексе.

Лит.:[1] Гельфанд И. М., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 3, с. 121-32; [2] Атья М. Ф., 3ингер И. <М., "Математика", 1966, т. 10, № 3, с. 29-38; [3] их же, "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 5, с. 99-142; [4] Атья М. Ф., Сегал Г. Б., там же, в. 6, с. 135-49; [5] Атья М. Ф., Зингер И. М., там же, 1969, т. 24, в. 1, с. 127-82; [8] и х же, там же, 1972, т. 27, в. 4, с. 161-88; [7] Федосов Б. В., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1974, т. 30, с. 159-241; [8] Atiуah M., Elliptic operators and compact groups, В.-Hdlb.- N.Y., 1974; [9] Пале Р., Семинар по теореме Атьи - Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970; [10] Атья М. Ф., Ботт Р., Патоди В. К., "Математика", 1973, т. 17, № 6, с. 3-48; [11] Coburn L., Moyer R., Singer I. M., "Acta Math.", 1973, v. 130, № 3-4, p. 279-307; [12] Atiyah M. P., "Asterisque", 1976, v. 32-33, p. 43 - 72; [13] Atiyah M. F., Schmid W., "Inventiones math.", 1977, v. 42, p. 1-62; [14] Федосов Б. В., Шубин М. А., "Докл. АН СССР", 1977, т. 236, № 4, с. 812 -5; [15] АтьяМ. Ф., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [1б] Boutet de Monvel L., "Acta math.", 1971, v. 126, № 1-2, p. 11-51; [17] Федосов Б. В., "Матем. сб.", 1974, т. 93, №1, с. 62-89; т. 95, № 4, с. 525 - 50; 1976, т. 101, № 3, с. 380-401.

М. И. Войцеховский, М. А. Шубин.