ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

- условные обозначения, предназначенные для записи математич. понятий и выкладок. Напр., понятие "квадратный корень из числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру" обозначается кратко а предложение "отношение длины окружности к ее диаметру больше, чем три и десять семьдесят первых, и меньше, чем три и одна седьмая" записывается в виде:

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики.

Первыми 3. м. были знаки для изображения чисел - цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало введению письменности. Наиболее древние системы нумерации (системы счисления)- вавилонская и египетская - возникли еще за тысячелетия до н. э.

Первые 3. м. для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Произвольные величины (площади, объемы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных величин - в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами - начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до н. э.) последний способ обозначения становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике над буквами никаких операций не производилось, а буквенного исчисления создано не было.

Начатки буквенного обозначения и исчисления возникают в позднеэллинистич. эпоху в результате освобождения алгебры от геометрич. формы. Диофант (вероятно, 3 в.) обозначал неизвестную (х)и ее степени следующими знаками:

(- от греч. термина обозначавшего квадрат неизвестной,- от греч. - куб). Справа от неизвестной или ее степеней Диофант писал коэффициенты, напр. Зх ⁵ обозначалось (где ). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, при вычитании употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i (от греч. isoc - равный). Напр., уравнение

(x³+8x)-(5x²-1)=x у Диофанта записалось бы так:

(здесь а означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы, разрабатывавшие числовую алгебру, ввели различные 3. м. для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение

3 х ²+10х-8=x²+1

в записи Брахмагупты (7 в.) имело бы вид:

(йа - от йават - тават - неизвестное, ва - от варга - квадратное число, ру - от рупа - монета рупия - свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).

Создание современной алгебраич. символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практич. арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются 3. м. для нек-рых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный для исчисления символ. Так, в конце 15 в. Н. Шюке (N. Chuquet) и Л. Пачоли (L. Pacioli) употребляли знаки сложения и вычитания р и ш (от. лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и - . Еще в 17 в. можно насчитать около десятка 3. м. для действия умножения:

Поучительна история знака радикала. Вслед за Леонардо Пизанским (Leonardo Pisano, 1220) многие обозначали (вплоть до 17 в.) квадратный корень знаком (от лат. radix - корень). Н. Шюке обозначал квадратный, кубический и т. д. корни знаками и т. д. В немецкой рукописи ок. 1480 квадратный корень обозначался точкой перед числом, кубич. корень- тремя точками, а корень четвертой степени - двумя точками. У К. Рудольфа (Ch. Rudolff, 1525) корень уже обозначался . Для обозначения корней высших степеней различные ученые то пишут этот знак несколько раз подряд, то ставят после него букву - сокращение наименования показателя, то - соответствующую цифру в кружке или с круглой или квадратной скобкой, чтобы отделить ее от подрадикального числа [горизонтальную черту над подрадикальным выражением ввел Р. Декарт (R. Descartes), 1637], и лишь в начале 18 в. входит в обиход запись показателя корня вверху над отверстием знака радикала, встречающаяся ранее у А. Жирара (A. Girard, 1629). Таким образом, эволюция знака радикала длилась почти пятьсот лет.

Весьма различны были 3. м. неизвестной и ее степеней. В 16 и начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, напр, се (от census - лат. термин, служивший переводом греч. Q (от quadratum),A (2), 1², А ⁱⁱ, аа, а² и т. д. Так, уравнение х ³+5x=12 имело бы у Дж. Кардано (G. Cardano, 1545) вид:

(cubus- куб, positio - неизвестная, oequantur - равно);

у М. Штифеля (М. Stifel, 1544):

у Р. Бомбелли(R. Bombelli, 1572):

- куб неизвестной, - неизвестная; eguale - равно); у Ф. Виета (F. Viete, 1591):

(С - cubus - куб, N - numerus - число); у Т. Гарриота (Т. Harriot, 1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, N. Tartaglia, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593).

Значительным шагом вперед в развитии математич. символики явилось введение Ф. Виетом (1591) 3. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраич. уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать с ними. Неизвестные Ф. Виет обозначал гласными прописными буквами А, Е, .... Напр., запись Ф. Виета

[cubus - куб, planus - плоский, т. е. В- двумерная величина; solidus - телесный (трехмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:

x³ + 3bx = d.

Ф. Виет явился творцом алгебраич. формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у,z, а произвольные данные величины - начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешнее обозначение степени. Обозначения Р. Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие 3. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики к-рого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре. И. Ньютон (I. Newton) в своем методе флюксий и флюент (1666 и следующие годы) ввел знаки для последовательных флюксий (производных) величины хв виде и для бесконечно малого приращения о. Несколько ранее Дж. Валлис (J. Wallis, 1655) предложил знак бесконечности оо. Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц (G. Leibniz). Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов dx, d²x, d³x и интеграла

Следует подчеркнуть принципиальное преимущество знака интеграла, данного Г. Лейбницем, перед предложенным И. Ньютоном знаком х. В знаке Г. Лейбница отражающем самый процесс построения интегральной суммы, явно указана и интегрируемая функция и переменная интегрирования. Благодаря этому знак годится и для записи формул замены переменных и легко может быть использован для записи кратных и криволинейных интегралов. Знак И. Ньютона ' х таких возможностей непосредственно не представляет. Аналогично обстоит дело с лейбницевыми знаками дифференциалов и ньютоновыми знаками флюксий и бесконечно малого приращения. --Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежит Л. Эйлеру (L. Euler). Он ввел в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f(x)(от лат. functio - функция, 1734). Несколько ранее знак jx был применен И. Бернулли (J. Bernoulli, 1718). После работ Л. Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, напр, тригонометрических, приобрели стандартный характер. Л. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е(основание натуральных логарифмов, 1736), p (вероятно, от греч.- окружность, периферия, 1736), мнимой единицы (от франц. imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794), к-рые стали общеупотребительными.

В 19 в. роль символики еще более возрастает и, наряду с созданием новых 3. м., математики стремятся к стандартизации основных символов. Некоторые широко употребительные ныне 3. м. появляются лишь в это время: знак абсолютной величины | х| (К. Вейерштрасс, К. Weierstrass, 1841), вектора (О. Коши, A. Cauchy, 1853), определителя (А. Кэли, A. Cayley, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., напр, тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики. Характерно при этом увеличение удельного веса 3. м. для отношений, напр., сравнимости (К. Гаусс, С. Gauss, 1801), принадлежности изоморфизма эквивалентности и т. д. Знаки переменных отношений появляются с развитием математич. логики, особенно широко применяющей 3. м.

С точки зрения математической логики, среди 3. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание лишь тогда, когда указано, какие числа складываются: запись 1+3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К указанным трем основным группам 3. м. примыкает еще четвертая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства арифметич. действий.

Знаки каждой из трех групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определенных объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "переменных", или "неизвестных", объектов, операций и отношений. Примерами знаков первого рода могут служить (см. также таблицу на кол. 462, 463):

А ₁) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел еи я; мнимой единицы и т. п.

Б ₁) Знаки арифметич. действий +, -, Х, , : ; извлечения корня дифференцирования d/dx, оператора Лапласа

Сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т. п.

B₁ )Знаки равенства и неравенства =, >, <, знаки параллельности || и перпендикулярности и т. п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчиненные к.-л. заранее оговоренным условиям. Напр., при записи тождества

( а+b)( а-b) = а ²-b²

буквы а и 6 обозначают произвольные числа; при изучении'функциональной зависимости

у=х*

буквы х и у изображают произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

x²-1=0

хобозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаем, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и -1).

С логич. точки зрения вполне законно все такого рода общие знаки наз. знаками переменных, как это принято в математич. логике ("область изме-

Даты возникновения некоторых математических знаков
Знак	Значение	Кто ввел	Когда введен
Знаки индивидуальных операций
	бесконечность	Дж. Валлис (J. Wallis)	1655
е	основание натуральных логарифмов	Л. Эйлер (L. Euler)	1736
p	отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс (W. Jones) Л. Эйлер (L. Euler)	1706 1736
i	корень квадратный из -1	Л. Эйлер (L. Euler)	1777 (в печати 1794)
i, j, k	единичные векторы, орты	У. Гамильтон (W. Hamilton)	1853
П(a)	угол параллельности	Н. И. Лобачевский	1835
Знаки переменных объектов
х, у, z	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт (R. Descartes)	1637
	вектор	О. Коши (A. Cauchy)	1853
Знаки индивидуальных операций
+ -	сложение вычитание	немецкие математики	конец 15 в.
x	умножение	У. Оутред (W. Oughtred)	1631
.	умножение	Г. Лейбниц (G. Leibniz)	1698
:	деление	Г. Лейбниц (G. Leibniz)	1684
a2, а 3,..., а n	степени	Р. Декарт (R. Descartes) И. Ньютон (I. Newton)	1637 1676
	корни	К. Рудольф (К. Rudolf) А. Жирар (A.Girard)	1525 1629
	логарифм	И. Кеплер (J. Kepler) Б. Кавальери (B. Cavalieri)	1624 1632
sin cos tg	синус косинус тангенс	Л. Эйлер (L. Euler) Л. Эйлер (L. Euler)	1748 1753
arc. sin	арксинус	Ж. Лагранж (J. Lagrange)	1772
Sh Ch	гиперболический синус гиперболический косинус	В. Риккати (V. Riccati)	1757
dx,ddx,..., d2x,d3x,...	дифференциал	Г. Лейбниц (G. Leibniz)	1675 (в печати 1684)
	интеграл	Г. Лейбниц (G. Leibniz)	1675 (в печати 1686)
	производная	Г. Лейбниц (G. Leibniz)	1675
f'(x),y',f'x	производная	Ж. Лагранж (J. Lagrange)	1770, 1779
Dх	разность, приращение	Л. Эйлер (L. Euler)	1755
	частная производная	А. Лежандр (A. Legendre)	1786
	определенный интеграл	Ж. Фурье (J. Fourier)	1819-22
	сумма	Л. Эйлер (L. Euler)	1755
П	произведение	К. Гаусс (С. Gauss)	1812
!	факториал	К. Крамп (Ch. Kramp)	1808
	модуль	К. Вейерштрасс (К. Weierstrass),	1841
	предел	С. Люилье (S. L'Huillier) У. Гамильтон (W. Hamilton), многие математики	1786 1853 начало 20 в.

Продолжение
Знак	Значение	Кто ввел	Когда введен
	дзета-функция	Б. Риман (В. Rlemann)	1857
Г	гамма-функция	А. Лежандр (A. Legendre)	1808
	бета-функция	Ж. Бине (J. Binet)	1839
D	дельта (оператор Лапласа)	Р. Мёрфи (R. Murphy)	1833
	набла (оператор Гамильтона)	У. Гамильтон (W. Hamilton)	1853
Знаки переменных операций
	функция	И. Бернулли (J. Bernoulli) Л. Эйлер (L. Euler)	1718 1734
Знаки индивидуальных отношений
=	равенство	Р. Рекорд (R. Recorde)	1557
> <	больше меньше	Т. Гарриот (Т. Harriot)	1631
	сравнимость	К. Гаусс (С. Gauss)	' 1801
	параллельность	У. Оутред (W. Oughtred)	1677 (в посмертном издании)
	перпендикулярность	П. Эригон (P. Herigone)	1634

нения" переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже "пустой", напр., в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

А ₂) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрич. фигур буквами в геометрии.

Б ₂) Обозначения f, F,j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой Lобозначают, напр., произвольный оператор вида:

Обозначения для "переменных отношений" менее распространены; они находят применение лишь в математич. логике и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математич. исследованиях.

Лит.:[1] Саjоri F., A history of mathematical notations, V. 1-2, Chi., 1928 - 29.