- ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА
- общее название ряда теорем, позволяющих устанавливать доказуемость импликации
в случае, когда дан логический вывод формулы Виз формулы А. В простейшем случае классического, интуиционистского и т. п. исчислений высказываний Д. т. утверждает: если Г,
(из допущений Г, Авыводимо В), то
(*)(Г может быть пусто). При наличии кванторов аналогичное утверждение неверно:
но не
Одна из формулировок Д. т. для традиционных исчислений предикатов (классического, интуиционистского и т. п.): если Г, А|-В, то
где
означает результат приписывания V -кванторов (см. Квантор )по всем свободным переменным формулы А. В частности, если А- замкнутая формула, Д. т. принимает форму (*). Эта формулировка Д. т. дает возможность сводить поиск вывода в аксиоматич. теориях к поиску вывода в исчислении предикатов: формула В выводима из аксиом A1, ...,An тогда итолько тогда, когда в исчислении предикатов выводима формула
Похожим образом формулируется Д. т. для логик, где имеются связки, "похожие" на кванторы. Так, для модальных логик S4 и S5 Д. т. имеет вид: если Г,
то 
Более тонкие формулы Д. т. получаются, если вводить V-кванторы не по всем свободным переменным, а лишь по тем, к-рые связываются кванторами в процессе вывода. Говорят, что переменная y варьируется для формулы А в данном выводе, если увходит свободно в Аи в рассматриваемом выводе имеется применение правила введения V в заключение импликации (или введения Э в посылку), при к-ром вводится квантор по y, причем посылка этого применения зависит в данном выводе от А. Теперь Д. т. для традиционных исчислений предикатов уточняется так: если Г,
то
где y1, ... , у п- полный список переменных, к-рые варьируются для Ав данном выводе. В частности, если никакая свободная переменная из Ане варьируется, то Д. т. принимает форму (*). При формулировке соответствующего уточнения Д. т. для модальных логик следует считать, что варьирование происходит в правилах введения
в заключение импликации и 
- в посылку.При установлении Д. т. для исчислений релевантной импликации (т. <е. для систем, согласованных с истолкованием
как Ввыводимо с существенным использованием допущения А)приходится либо модифицировать само понятие вывода, либо считать, что варьирование происходит при всяком использовании "постороннего" допущения; напр., при переходе от пары А,
к А,
варьируется формула А, т. к. она не входит во второй член. пары.Если Ане варьируется в данном выводе, то Д. т. принимает форму (*), а если Аварьируется, то Д. т. принимает вид: если А, Г|- В , то
где t- константа "истина" (или конъюнкция формул (
) для всех пропозициональных переменных р, выходящих в Л, Г, В).Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Карри X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969.
Г. Е. Минц.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
