ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО

ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО

- ассоциативное коммутативное кольцо Rс единицей, не содержащее делителей нуля (т. е. коммутативная область целостности), в к-ром каждый собственный идеал представим в виде произведения простых идеалов (идеал Ркольца R наз. простым, если факторкольцо R/P не содержит делителей нуля). Свое название эти кольца получили по имени Р. Дедекинда (R. Dedekind), к-рый в числе первых изучал такие кольца в 70-х гг. 19 в.

Каждая область главных идеалов является Д. к. Если Rесть Д. к., L - конечное алгебраич. расширение его поля частных, то целое замыкание R' кольца R в L (т. е. совокупность элементов из L, являющихся корнями уравнений вида xn+a1xn-1+ ... +an=0,) снова будет Д. к. В частности, дедекиндовыми являются кольцо целых алгебраич. чисел и максимальные порядки полей алгебраич. чисел, т. е, целые замыкания кольца целых чисел в конечных алгебраич. расширениях поля рациональных чисел.

В Д. к. Rкаждый собственный идеал обладает единственным представлением в виде произведения простых идеалов. Эта теорема возникла из задачи о разложении элементов на простые множители в максимальных порядках полой алгебраич. чисел. Такое разложение, вообще говоря, не единственно.

Кольцо R дедекиндово тогда и только тогда, когда полугруппа дробных идеалов этого кольца является группой. Каждый дробный идеал Д. к. R обладает единственным представлением в виде произведения степеней (положительных или отрицательных) простых идеалов кольца Л. Д. к. обладает следующей характеризацией: коммутативная область целостности является Д. к. тогда и только тогда, когда Л есть нётерово кольцо, каждый собственный простой идеал кольца Rмаксимален и Rцелозамкнуто, т. е. совпадает со своим целым замыканием в поле частных. Другими словами, Д. к. есть нётерово нормальное кольцо размерности один по Круллю. Для Д. к. Rвыполняется так наз. "китайская теорема об остатка х": для данного конечного набора идеалов Ii и элементов х;кольца R,i=1, 2, . . ., га, система сравнений x=xi(mod Ii) имеет решение хОRтогда и только тогда, когда xi=xj(mod Ii+ + Ij )для i неравно j. Д. к. Rможно охарактеризовать также как Крулля кольцо размерности один. Каждое Д. к. является регулярным коммутативным кольцом и все его локализации по максимальным идеалам есть дискретного нормирования кольцо. Полугруппа ненулевых идеалов Д. к. R изоморфна полугруппе Р дивизоров этого кольца.

Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 2 изд., 1972; [4] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. А. Бокутъ.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО" в других словарях:

  • ФАКТОРИАЛЬНОЕ КОЛЬЦО — кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, Ф. к. А это область целостности, в к рой можно выбрать систему экстремальных элементов . такую, что любой ненулевой элемент допускает единственное представление вида где иобратим, а целые… …   Математическая энциклопедия

  • ДИСКРЕТНОГО НОРМИРОВАНИЯ КОЛЬЦО — дискретно нормированное кольцо, кольцо с дискретным нормированием, т. е. область целостности с единицей, в к рой существует такой элемент я, что любой ненулевой идеал порождается нек рой степенью элемента я; такой элемент наз. униформизирующим и… …   Математическая энциклопедия

  • ДЖЕКОБСОНА КОЛЬЦО — коммутативное кольцо с единицей, любой простой идеал к рого является пересечением максимальных идеалов, его содержащих, т. е. кольцо, любое целостное факторкольцо к рого имеет нулевой Джекобсона радикал. Напр., любое артиново кольцо, кольцо целых …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО — в к о м м у т а т и в н о й а л г е б р е нётерово кольцо А, все локализации к рого регулярны; здесь простой идеал в А. При этом локальное нётерово кольцо Ас максимальным идеалом наз. р е г у л я р н ы м, если порождается пэлементами, где n=dim A …   Математическая энциклопедия

  • КРУЛЛЯ КОЛЬЦО — коммутативное целостное кольцо А, для к poro существует семейство дискретных нормировании поля частных Ккольца А, удовлетворяющее следующим условиям: а) для любого н для всех i, исключая, быть может, конечное число, б) для условие эквивалентно… …   Математическая энциклопедия

  • КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ — пусть А ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей и такая совокупность идеалов кольца А, что для любых тогда для любого набора элементов найдется элемент такой, что x=xi(mod a,), i=l, ..., п. В частном случае, когда А кольцо целых чисел 2,… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАССЛОЕНИЕ — морфизм многообразий , локально (в Зариского топологии).устроенный как проекция прямого произведения на , причем склейка сохраняет послойно структуру векторного пространства. При этом Еназ. пространством расслоения, базой, а п рангом (или… …   Математическая энциклопедия

  • НЕРАЗВЕТВЛЕННЫЙ ИДЕАЛ — простой идеал поля алгебраич. чисел К, лежащий над таким простым числом р, что главный идеал (р) имеет в поле Кразложение в произведение простых идеалов вида причем . Точнее этот идеал наз. абсолютно неразветвленным. В общем случае, пусть А… …   Математическая энциклопедия

  • Деление (математика) — Запрос «Деление» перенаправляется сюда; для просмотра других значений см. Деление. Деление (операция деле …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»