ДВУСТОРОННЯЯ ОЦЕНКА

- совокупность оценок некоторой величины асверху и снизу. Оценкой сверху наз. неравенство вида ; оценкой снизу - неравенство противоположного смысла Величины А ₀, А ₁, с помощью к-рых оценивается величина а, как правило, имеют или более простой вид или значительно легче вычисляются чем l.

Примеры. 1) Пусть т, М- соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x)на отрезке [a, b]; тогда для интеграла справедлива Д. о.:

где

2) Д. о. констант Лебега L _п при всех п = 0,1,2, ...:

3) Д. о. собственных значений. Пусть поставлена задача на собственные значения линейного самосопряженного оператора Т: Ти=l и в гильбертовом пространстве l. Строится следующий итерационный процесс: Tf_n+1=f_n, где В силу самосопряженности оператора Тскалярные произведения (f_m, f_k )зависят лишь от суммы индексов т+к. Числа а _п=(f₀, f_n)=(f_m, f_n-m) наз. постоянными Шварца, а числа m_n+1= а _п/а _{п + 1}- частными Рэлея - Шварца. Если оператор Т положительный, то m_n. образуют монотонную невозрастающую сходящуюся последовательность.

Если Х ₀- собственное значение оператора Т, а<l₀<b, a<m_2k<b, и на интервале (а, b)нет других точек спектра оператора Т, то

(теорема Темпля [3]). При определенных условиях частные Рэлея - Шварца сходятся к нек-рому собственному значению оператора Т.

Численные методы получения Д. о. (двусторонних приближений) наз. двусторонними методами [4]. Рассмотренный выше способ построения частных Рэлея - Шварца является примером двустороннего метода. Нек-рые двусторонние методы основаны на использовании пары приближенных формул, имеющих остаточные члены противоположных знаков. Пусть, напр., функция f(x), заданная в точках (узлах интерполяции) x_o<x₁< ...<х _п, интерполируется многочленом Лагранжа L₀(x)с узлами х ₀, х₁, ..., х _п-1, L₁(x)- интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами х ₁, х₂, ..., х _n. Тогда для остаточных членов справедливы соотношения:

где x₀, x₁ О[x₀, х _n]. Если производная f^(x) (х)не меняет знака на отрезке [ х ₀, х _п], то R₀(x)и R₁(x)имеют разные знаки. Справедлива Д. о.:

Наиболее разработаны двусторонние методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [5] - [9].

Двусторонние методы дают возможность указать границы области, в к-рой заведомо лежит решение задачи. При этом приходится согласиться с усложнением алгоритма. Более того, чтобы обеспечить двусторонность в реальных вычислениях (при наличии ошибок округлений), приходится еще более усложнять алгоритм. Двусторонние методы применяются в основном в тех случаях, когда необходимо иметь гарантированную оценку погрешности.

Лит.:[1] Галкин П. В., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 109, с. 3-5; [2] Коллатц Л., Задачи на собственные значения с техническими приложениями, пер. с нем., М., 1968; [3] его же, Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [5] Волков Е. <А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 112, с. 141-51; [6] Ремез Е. Я., "Зап. природниго-техшчного вщдщу" АН УССР, 1931, № 1, с. 1 - 38; [7] Горбунов А. Д., Шахов Ю. А., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1963, т. 3, № 2, 239-53; 1964, т. 6, № 3, 426-33; [8] Девятко В. И., там же, 1963, т. 3, № 2, 254-65; [9] Салихов Н. П., там ж е,1962, т. 2, №4, 515-28.

В. В. Поспелов.