ДВОЙНОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ

- выражение вида

где Г - граница произвольной ограниченной Ж-мерной области п _у- внешняя по отношению к области gнормаль к границе Г в точке у,m(у).- плотность потенциала - функция, заданная на Г, h(r_xy)- фундаментальное решение уравнения Лапласа

- площадь поверхности единичной (N-1)-мерной сферы,- расстояние между точками хи . Граница Г принадлежит классу С ^(1,l); она является поверхностью или дугой Ляпунова.

Выражение (1) может быть истолковано как потенциал, создаваемый диполями, помещенными на Г, направление к-рых в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали n_y, а интенсивность равна m(y).

Если то и(х)определено для всех (в частности и для и обладает следующими свойствами.

1) Всюду в функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа, причем производные по координатам точки хможно вычислять дифференцированием под знаком интеграла.

2) При переходе через границу Г функция и(х)испытывает разрыв. Пусть х ₀- произвольная точка на Г, и ⁺( х ₀ )и и ^-( х ₀ )-предельные значения изнутри и извне, тогда и ^±( х ₀ )существуют и равны

причем интеграл в формуле (3) как функция принадлежит С ^{(0, a)} при любом кроме того, функция, равная и в gи и ⁺ на Г, непрерывна в g+Г, а функция, равная ив E^N-(g-Г )и и ^- на Г, непрерывна в E^N-g.

3) Если плотность и то и(х), продолженная так же, как в 2)на g+Г или E^N-g, принадлежит классу С ^(0,a) в g+Г или в E^N-g.

4) Если a>1-l, а х ₁ и х ₂- две точки, принадлежащие нормали, выходящей из точки х ₀, симметричные относительно точки х ₀, то

В частности, если существует одна из производных ди ⁺( х _о)/дп, ди ^-( х _о)/дп, то существует и другая и ди ⁺( х _о)/дn=ди ^-( х _о)/дп. Это свойство справедливо также, если а

Перечисленные выше свойства обобщаются во многих направлениях. Плотность m(x) может принадлежать L _р (Г), . Тогда вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех и интеграл в (3) принадлежит L_p (Г).

Изучены также свойства Д. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной мере v, определенной на Г:

здесь также вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех по мере Лебега v(x)с заменой m(z₀) на производную меры v' (x₀). В определении (1) фундаментальное решение уравнения Лапласа может быть заменено на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка с переменными коэффициентами, а д/дn- на производную по конормали. При этом остаются справедливыми свойства, перечисленные выше (см. [2]).

Д. с. п. играет важную роль в решении краевых задач для эллиптич. уравнений. Представление искомого решения (первой) краевой задачи в виде Д. с. п. с неизвестной плотностью m(y) и использование свойства 2) приводит к интегральному Фредгольма уравнению второго рода на Г для определения функции m(у)(см. [1], [2]).

При решении краевых задач для параболич. уравнений используется понятие теплового потенциала двойного слоя, т. е. интеграл вида

где G(x, t; у,t) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в N-мерном пространстве:

s( у, т) - плотность потенциала. Функция v(x, t )и ее обобщение на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают свойствами, аналогичными указанным выше для и(х)(см. [3], [4], [5]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее при" менение к основным задачам математической физики, М,,1953; [2] Миранда К.,. Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968.

И. А. Шишмарев.