- ГИПЕРКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ФУНКЦИЯ
- функция w(z).гпперкомплексного переменного z (см. Гиперкомплексное число).над полем действительных чисел, т. е. функция на конечномерной ассоциативной алгебре
. В более узком смысле под Г. п. ф. понимается функция
со значениями в той же алгебре
, т. е. функция
может быть представлена в виде
где
- базис алгебры
а
- система пдействительных функций от пдействительных переменных. Теория Г. п. ф. наиболее развита в случае, когда
есть алгебра кватернионов.
Аналитические (регулярные) Г. п. <ф. представляют собой обобщения в различных направлениях аналитич. функций одного комплексного переменного. При этом, в силу неэквивалентности различных определений аналитичности в случае произвольной алгебры, существуют различные понятия аналитической Г. п. ф.
В современных исследованиях наибольшее внимание привлекают регулярные Г. п. ф. в смысле Фютера, или F-aналитические Г. п. ф. (см. [1]). Г. п. ф.
наз. праворегулярноп Г. п. ф. в точке
, если в этой точке справедливо дифференциальное уравнение (условие Фютера)
где
- частная производная функции
по
, причем все производные предполагаются непрерывными. Функция w(z).наз. леворегулярной Г. п. ф., если
В случае некоммутативной алгебры эти понятия не равносильны. Сумма п разность праворегулярных Г. п. ф. праворегулярны, но для произведения и частного это неверно. Степени переменного z не праворегулярны. Имеются ряды Тейлора и Лорана по специально построенным аналогам степеней. Условие Фютера равносильно обращению в нуль дифференциала
гиперкомплексной дифференциальной формы
(для леворегулярных Г. п. ф.- формы
); отсюда получается специфическая интегральная теорема. Аналитической по Шефферсу Г. п. ф. [2] в точке
для случая коммутативной алгебры
наз. Г. п. ф., у к-рой дифференциал в этой точке может быть записан в виде
где производная
не зависит от
. Это условие для коммутативной алгебры
равносильно тому, что
и интеграл
не зависит от пути;
Г. п. ф., аналитические по Шефферсу, F-регулярны тогда и только тогда, когда
Г. п. ф.
наз. аналитической по Хаусдорфу [3] в точке
, если ее дифференциал
есть линейная функция от
, то есть
где
- действительные функции от
Аналог степенных рядов здесь строится проще, но интеграл зависит от пути. Для коммутативной алгебры
определения Хаусдорфа и Шефферса эквивалентны.
Лит.: [1] Fueter К. R., "Elem. Math.", 1948, Bd 3, S. 89-94; [2] Scheffers G., "Ber. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig Matb.-phys. Kl.", 1893, Bd 45, S. 828- 48; [3] Наusdоrff F., там же, 1900, Bd 52, S. 43-61; [4] Кристалинский P. X., "Уч. зап. Смоленского пед. ин-та", 1965, вып. 14, с. 91-95. Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.