ГИПЕРКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ФУНКЦИЯ

- функция w(z).гпперкомплексного переменного z (см. Гиперкомплексное число).над полем действительных чисел, т. е. функция на конечномерной ассоциативной алгебре . В более узком смысле под Г. п. ф. понимается функция со значениями в той же алгебре , т. е. функция может быть представлена в виде

где - базис алгебры а - система пдействительных функций от пдействительных переменных. Теория Г. п. ф. наиболее развита в случае, когда есть алгебра кватернионов.

Аналитические (регулярные) Г. п. <ф. представляют собой обобщения в различных направлениях аналитич. функций одного комплексного переменного. При этом, в силу неэквивалентности различных определений аналитичности в случае произвольной алгебры, существуют различные понятия аналитической Г. п. ф.

В современных исследованиях наибольшее внимание привлекают регулярные Г. п. ф. в смысле Фютера, или F-aналитические Г. п. ф. (см. [1]). Г. п. ф. наз. праворегулярноп Г. п. ф. в точке , если в этой точке справедливо дифференциальное уравнение (условие Фютера)

где

- частная производная функции по , причем все производные предполагаются непрерывными. Функция w(z).наз. леворегулярной Г. п. ф., если

В случае некоммутативной алгебры эти понятия не равносильны. Сумма п разность праворегулярных Г. п. ф. праворегулярны, но для произведения и частного это неверно. Степени переменного z не праворегулярны. Имеются ряды Тейлора и Лорана по специально построенным аналогам степеней. Условие Фютера равносильно обращению в нуль дифференциала гиперкомплексной дифференциальной формы (для леворегулярных Г. п. ф.- формы ); отсюда получается специфическая интегральная теорема. Аналитической по Шефферсу Г. п. ф. [2] в точке для случая коммутативной алгебры наз. Г. п. ф., у к-рой дифференциал в этой точке может быть записан в виде

где производная не зависит от . Это условие для коммутативной алгебры равносильно тому, что и интеграл не зависит от пути;

Г. п. ф., аналитические по Шефферсу, F-регулярны тогда и только тогда, когда

Г. п. ф. наз. аналитической по Хаусдорфу [3] в точке , если ее дифференциал есть линейная функция от , то есть

где - действительные функции от Аналог степенных рядов здесь строится проще, но интеграл зависит от пути. Для коммутативной алгебры определения Хаусдорфа и Шефферса эквивалентны.

Лит.: [1] Fueter К. R., "Elem. Math.", 1948, Bd 3, S. 89-94; [2] Scheffers G., "Ber. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig Matb.-phys. Kl.", 1893, Bd 45, S. 828- 48; [3] Наusdоrff F., там же, 1900, Bd 52, S. 43-61; [4] Кристалинский P. X., "Уч. зап. Смоленского пед. ин-та", 1965, вып. 14, с. 91-95. Е. Д. Соломенцев.