ГИДРОДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

- задачи для систем уравнений, к-рыми описываются механич. модели течений жидкости и ее взаимодействия с ограничивающими поверхностями. Для теоретич. описания часто встречающихся турбулентных течений применяются модели частного характера (в большинстве случаев - полуэмпирического), пригодные для сравнительно узких классов течений. В теоретич. исследованиях движений жидкости, в к-рых турбулентность не является существенной, широко используется модель однородной несжимаемой жидкости. Эта модель описывается уравнениями Навье - Стокса:

где - вектор скорости, - давление, - вектор внешней силы, действующей на единицу массы, - коэффициент кинематич. вязкости жидкости; плотность жидкости принята равной единице. Если коэффициент v зависит от температуры, то к уравнениям Навье- Стокса добавляется следующее из закона сохранения энергии уравнение теплопроводности в движущейся среде, в к-ром учитывается выделение тепла в результате обусловленной действием вязкости диссипации механич. энергии.

Различные задачи механики жидкостей приводят к разным системам дополнительных условий (начальных, краевых), требующихся для решения уравнений Навье- Стокса. В связи со сложностью возникающих при этом математич. задач для многих классов задач механики жидкости создаются более простые механич. модели. В задачах какого-либо одного класса стремятся выделить основные факторы, от к-рых может зависеть движение, и соответственно этому в уравнениях и дополнительных условиях сохраняются лишь члены, учитывающие влияние этих факторов. В более сложных случаях в разных частях области движения и в разные отрезки времени основные определяющие факторы могут быть разными. В таких случаях описание движения в целом достигается путем склейки решений локальных задач, осуществляемой применением к этим решениям дополнительных алгоритмов.

Весьма плодотворной для решения многих задач оказалась модель жидкости, в к-рой не учитывается наличие вязкости (т. е. ) - модель идеальной жидкости.

В случае потенциальных внешних сил (напр., при учете лишь силы тяжести) особую роль играют в силу их сохраняемости потенциальные течения идеальной жидкости, для к-рых . Потенциал удовлетворяет при этом уравнению Лапласа .

Многие задачи механики жидкости сводятся в этом приближении к классич. задачам теории потенциала. Так, задача о движении тела в неограниченной покоящейся в бесконечности жидкости сводится к решению внешней задачи Неймана. Однако это решение лишь в очень немногих случаях позволяет приблизиться к описанию полей скорости и давления в реальной жидкости. Одним из таких важных случаев является плоское движение хорошо обтекаемого профиля с постоянной циркуляцией скорости вокруг него.

В вязкой жидкости благодаря действию вязкости в пограничном слое вблизи поверхности тела образуются вихри, так что за телом возникает вихревой след. В случае хорошо обтекаемых тел (напр., крыльев с острой задней кромкой, движущихся с малыми углами атаки) вихревой след при больших числах Рейнольдса очень тонок и в модельной постановке задачи в идеальной жидкости его можно заменить поверхностью разрыва потенциала (вихревой пеленой). Таким образом, возникают задачи о нахождении в области вне крыла потенциала скорости, имеющего разрыв на сходящей с задней кромки крыла поверхности, положение к-рой заранее неизвестно и определяется в процессе решения задачи. Аналитич. решение этой задачи получено лишь в линейном приближении для тонких крыльев простой формы в плане (круг, эллипс). В линейном приближении для крыльев иных форм при стационарных и нестационарных движениях разработаны методы численного решения задач. Разрабатываются численные методы расчета обтекания крыльев при нелинейных возмущениях потока.

Широкий круг проблем гидромеханики приводит к постановке задач об отыскании потенциального движения идеальной жидкости в области, ограниченной частично твердыми стенками, а частично - свободной поверхностью. Форма свободной поверхности заранее неизвестна, ее нужно определять в процессе решения задачи с помощью дополнительных условий на этой поверхности. В тех случаях, когда влиянием силы тяжести и поверхностного напряжения на движение можно пренебречь, в установившихся движениях, как следует из интеграла Бернулли, на свободной поверхности, вдоль к-рой жидкость соприкасается с областью постоянного давления, скорость жидкости постоянна. Типичными задачами с условиями такого типа являются задачи об истечении струй из отверстия в сосуде и о соударении струй, натекании на тело струи жидкости конечной толщины, глиссировании с большой скоростью тела по поверхности жидкости. К таким же задачам относятся задачи об обтекании тел неограниченным потоком со срывом струй и с образованием за телом застойных зон или кавитационных полостей с постоянным давлением. В случае плоских течений при решении всех этих задач используются техника конформных отображений, вариационный метод и метод интегральных уравнений. Решение пространственных задач значительно труднее и опирается на численные методы.

В случае нестационарных течений со свободными поверхностями, в том числе при учете силы тяжести и при учете капиллярных сил, интеграл Коши-Лагранжа дает нелинейное условие для потенциала скорости на свободной поверхности. С этим условием связаны основные трудности решения подобных задач: вход тела в жидкость или выход тела из-под поверхности жидкости, глиссирование тела по поверхности тяжелой жидкости; движение тела, частично или полиостью погруженного в тяжелую жидкость, волны на поверхности тяжелой жидкости.

При решении этих задач лишь немногие результаты получены с использованием точных методов. Значительные успехи связаны с применением приближенных асимптотич. методов. Один из основных подходов - линейная теория малых возмущений и ее уточнения. Применяемый при этом математич. аппарат охватывает почти весь линейный аппарат математич. физики.

При изучении волн на поверхности тяжелой жидкости важное значение имеет приближение "мелкой воды" - предположение о малой сравнительно с длиной рассматриваемых волн глубине бассейна. В этом приближении удается развить нелинейную теорию для волн конечной амплитуды. Эта теория сводится к системе гиперболич. уравнений с частными производными, аналогичной той, к-рая возникает в теории двумерных сверхзвуковых течений газа; многие важные результаты могут быть при этом получены методом характеристик. В квазиодномерном приближении теория мелкой воды составляет основу разделов современной гидравлики, изучающих волновые движения в реках и протяженных открытых каналах: распространение паводковых волн и волн, вызванных разрушением плотины; возникновение периодических стационарных волн в каналах с крутым дном и др.

В точной нелинейной теории волн на поверхности тяжелой жидкости методы теории функций и функционального анализа позволили решить многие вопросы существования и единственности волновых движений. В частности, доказано существование гладких двумерных периодических прогрессивных волн конечной амплитуды на поверхности жидкости бесконечной или конечной постоянной глубины.

Схема обтекания тела потенциальным потоком со срывом струй и с образованием за ним застойной области, в к-рой скорость жидкости равна нулю, представляет собой лишь одну из возможных схематизации. Имеются схемы обтекания тел с областью в следе за ними, заполненной завихренной жидкостью. В связи с исследованием таких схем обтекания, а также в связи с рядом других приложений, возникла задача о склейке областей потенциального и вихревого течений жидкости, отделенных поверхностью тока, форма к-рой заранее неизвестна. В случае плоских симметричных движений при постоянной величине вихря в области завихренного течения получены нек-рые частные численные решения этой задачи.

Для изучения движений жидкости, в к-рых действие вязкости проявляется существенным образом, также разработан ряд упрощенных по сравнению с полными уравнениями Навье - Стокса математич. моделей. К числу наиболее важных и широко используемых относятся: теория медленных движений Стокса и ее уточнения; теория пограничного слоя Прандтля и ее уточнения; теория термических конвективных движений Буссинеска.

В ряде случаев движений жидкости, представляющих практич. интерес, сила инерции, действующая на элемент жидкости, мала по сравнению с силами давления или вязкости (при использовании критериев подобия этому соответствуют малые значения числа Рейнольдса), так что в первом приближении ею можно пренебречь (теория Стокса). В результате возникает задача об определении и в области, заполненной жидкостью, из системы линейных уравнений

С использованием этой системы уравнений решены многие задачи о движении вязкой жидкости в жестких и деформируемых трубках и различной формы зазорах между неподвижными и подвижными поверхностями, задача о движении твердых тел и газовых пузырей в вязкой жидкости. Эти задачи служат основой гидро-динамич. теории смазки и имеют важное значение в химич. технологии, в биологических и других приложениях.

Имеются успехи в строгом обосновании разрешимости уравнений Стокса при различных дополнительных условиях. В частности, доказано существование и единственность решения задачи об обтекании системы тел конечных размеров неограниченным потоком с заданной скоростью в бесконечности.

Для плоских течений уравнения Стокса сводятся к бигармонич. уравнению относительно функции тока. Граничное условие обтекания заданного контура сводится при этом к заданию на контуре самой функции тока и ее нормальной производной, так что решение задачи обтекания приводит в этом случае к хорошо изученной задаче математич. физики.

В отличие от случая пространственного обтекания в случае плоского течения (напр., при поперечном обтекании круглого цилиндра) не существует решения задачи, соответствующего заданной скорости в бесконечности. "Парадокс Стокса", а впоследствии и "парадокс Уайтхеда" (невозможность найти путем итерации следующее приближение по числу Рейнольдса и в задаче обтекания сферы) привели к развитию в гидромеханике асимптотич. методов для малых значений числа Рейнольдса, уточняющих теорию Стокса. Эти методы сращиваемых асимптотич. разложений, кроме задачи обтекания тел вязкой жидкостью при малых значениях числа Рейнольдса, нашли применение во многих других задачах механики жидкости. Идея метода в задаче обтекания тел состоит в следующем. Приближение Стокса рассматривается как главный член асимптотич. разложения при малых Re вблизи обтекаемого тела. Вдали от обтекаемого тела (на расстояниях rот тела порядка Re ^-1) это разложение становится непригодным. Поэтому вдали от тела после введения сжатой радиальной координаты rRe строится другое асимнтотич. разложение как возмущение равномерного потока (разложение Озеена). Устранение произвола в построенных таким образом разложениях достигается путем их "сращивания" в промежуточной области в соответствии со специально разработанной для этого процедурой.

Для решения задач обтекания тел при малых числах Рейнольдса с успехом применяются численные методы. Результаты асимптотич. вычислений в задаче обтекания сферы хорошо согласуются с численными результатами вплоть до Re~60, что близко к пределу, при к-ром в опытах еще наблюдается установившееся течение.

К движениям, в к-рых инерционные силы малы по сравнению с силами вязкости, относятся многие случаи движения жидкости сквозь пористую среду. Можно считать, что поток жидкости сквозь элемент поверхности, пересекающий достаточно большое количество пор, пропорционален градиенту давления и обратно пропорционален коэффициенту вязкости - как в случае, если бы среда состояла из ряда трубок малого диаметра. Тогда при статистически изотропной структуре среды

(закон Дарси).

Если коэффициент проницаемости среды kне зависит от координат и коэффициент вязкости жидкости m постоянен, то скорость есть потенциальный вектор, причем потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Это дает возможность успешного применения методов теории потенциала для решения разнообразных практич. задач, касающихся фильтрации воды под плотинами, движений грунтовых вод вблизи побережий в связи с приливами и отливами, фильтрации нефти к скважинам и т. п.

Решения, получаемые в задачах непрерывного потенциального обтекания тел неограниченным потоком несжимаемой идеальной жидкости, удовлетворяют и полной системе уравнений Навье - Стокса, но не удовлетворяют условиям прилипания жидкости на поверхности тела. При больших значениях числа Рейнольдса слой жидкости вблизи поверхности тела, в к-ром существенно проявляется действие вязкости и благодаря наличию к-рого удается удовлетворить условию прилипания вязкой жидкости к поверхности, имеет небольшую толщину. На этом основании путем сравнительной оценки порядка величин различных членов в уравнениях Навье - Стокса эти уравнения сводятся к более простому виду - к уравнениям теории пограничного слоя (уравнения Прандтля). В уравнениях Прандтля давление не изменяется по нормали к обтекаемой поверхности, а изменение давления вдоль поверхности определяется течением идеальной жидкости вне пограничного слоя. В простейшем случае двумерного установившегося течения вдоль плоского контура уравнения Прандтля имеют вид:

Здесь - координаты и, соответственно, компоненты скорости в пограничном слое вдоль поверхности и по нормали к ней, U - скорость на внешней границе слоя.

Уравнения пограничного слоя дают главный член в соответствующим образом построенном асимптотпч. разложении решения уравнений Навье - Стокса для больших чисел Рейнольдса.

Уравнения пограничного слоя имеют параболич. тип с линией вырождения на контуре обтекаемого тела (там, где ). Для интегрирования уравнений пограничного слоя и получения важных в прикладном отношении характеристик течения в нем разработаны различные эффективные приближенные методы, в частности методы интегральных соотношений, основанные на использовании различных аппроксимаций распределений продольной скорости в поперечном направлении внутри слоя. Численные методы позволяют сравнительно просто получать нужные для практики результаты, в том числе и для пространственных течений, непосредственным интегрированием уравнений пограничного слоя.

Общая теория (теорема существования и единственности) разработана для случаев, когда внутри пограничного слоя на каждой нормали к обтекаемой поверхности проекция скорости жидкости на направление скорости внешнего потока не меняет знак (т. е. нет "обратных токов").

Усовершенствование теории пограничного слоя вычислением следующих членов асимптотич. разложения для больших чисел Рейнольдса связано с использованием метода сращиваемых асимптотич. разложений. Таким образом удалось, например, определить коэффициент сопротивления пластины с точностью порядка (главный член имеет порядок ).

В задачах термич. конвекции движение жидкости происходит в поле потенциальных массовых сил из-за возникающих вследствие неравномерного нагревания жидкости различий в плотности ее частиц. В приближении Буссинеска для изучения конвективных движений попользуется модель вязкой жидкости с постоянной плотностью, но с учетом в уравнении движения избыточной массовой силы при температурной неоднородности:

Здесь - превышение давления над гидростатическим, - превышение температуры над ее величиной, соответствующей невозмущенной плотности, - коэффициент относительного объемного расширения жидкости при нагревании. Это уравнение дополняется уравнением сохранения массы и уравнением теплопроводности в движущейся среде (оба - для жидкости постоянной плотности; в уравнении теплопроводности во многих случаях не учитывается вязкая диссипация).

Нек-рые задачи о конвективных движениях рассматривались на основе полной системы уравнений Навье - Стокса с использованием численных методов для ее решения. До появления ЭВМ отсутствовала возможность решения задач механики жидкости с использованием полной системы уравнений Навье- Стокса в тех случаях, когда нелинейные члены этих уравнений не обращаются тождественно в нуль в силу особых условий течения. Имеется ряд численных алгоритмов решения уравнений Навье - Стокса, применимых для расчета течений при небольших значениях числа Рейнольдса. Трудности реализации численных алгоритмов при больших числах Рейнольдса отражают сами свойства решений уравнений Навье - Стокса в этих условиях. Так, напр., в случае стационарных краевых задач доказано существование решения при любом числе Рейнольдса, если полный поток жидкости сквозь каждую изолированную часть области, заполненной жидкостью, равен нулю. Если эта область простирается в бесконечность, то в бесконечности ставится дополнительное условие vЮv₄ Для ограниченной области и малых чисел Рейнольдса решение краевой задачи единственно и устойчиво. При увеличении числа Рейнольдса это единственное решение теряет устойчивость, появляется новое стационарное устойчивое решение. Такая смена течений может происходить при росте Re неоднократно.

Для общего трехмерного случая доказана однозначная разрешимость начально-краевых задач вблизи гладких начальных данных; вопрос об однозначной разрешимости таких задач в целом, то есть для любого промежутка времени и любых размеров области движения, не решен (1977). По-видимому, решения нестационарной задачи могут становиться с течением времени все менее и менее регулярными, переходить в "турбулентные" режимы, могут ветвиться, причем продолжение решения вдоль той или иной ветви не определяется самой моделью Навье - Стокса.

Лит.:[1] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, т. 1-2, М.- Л., 1963; [2] Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, 2 изд., М., 1906; [3] Стокер Д ж. Д ж.. Волны на воде, пер. с англ., М., 1959; [4] Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; [5] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, М., 1973.

Г. Г. Черный.