- ГЕНЗЕЛЯ ЛЕММА
- утверждение, полученное К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре.
Говорят, что для локального кольца А с максимальным идеалом m выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена
и разложения
его редукции по модулю
в произведение двух взаимно простых многочленов
существуют такие многочлены
что
(здесь черта обозначает образ при редукции
). В частности, для любого простого корня
редуцированного многочлена
существует решение
уравнения
, удовлетворяющее условию
Г. л. выполняется, напр., для полного локального кольца. Г. л. позволяет сводить решение алгебраич. уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так в кольце
-адических чисел из Г. л. следует разрешимость уравнения
, так как это уравнение имеет два простых корня в поле
.из семи элементов. Локальное кольцо, для к-рого выполняется Г. л., наз. гензелевым кольцом.
По поводу Г. л. в некоммутативном случае см. [3].
Лит.:[1] Неnsе1 К., "J. reine und angew. Мath.", 1904, Bd 27, S. 51-84; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [a] Zassenhaus H., "Arch. Math.", 1954, Bd 5, № 4-6, S. 317-25. В. <Л. <Данилов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.