ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО

- 1) Г. н. для сумм. Пусть - нек-рые множества комплексных чисел, , где S - конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н.

где причем равенство достигается тогда и только тогда, когда , а и Сне зависят от . При Г. н. для сумм наз. Коши неравенством. В предельном случае при , Г. н. имеет вид

При знак Г. н. меняется на обратный. Г. н. для сумм допускает обращение (М. Рисе, М. Riesz): если

при всех таких, что то

Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид

если

2) Г. н. для интегралов. Пусть S - измеримое по Лебегу множество n-мерного евклидова пространства и функции

принадлежат , причем выполнено условие (2). Тогда справедливо Г. н.

При это есть Буняковского неравенство. Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о предельном случае и о знаках), аналогичные замечаниям для Г. н. (1).

В Г. н. множество S может быть любым множеством, на некоторой алгебре подмножеств которого задана конечно аддитивная функция (например, мера), а функции -измеримы и -интегрируемы в степени .

3) Обобщенное Г. н. Пусть S - произвольное множество и пусть на совокупности всех положительных числовых функций : задан (конечный или бесконечный) функционал удовлетворяющий условиям: а) б) для всех чисел в) при выполняется неравенство г)

Если при этом выполняются условия (2), то справедливо обобщенное Г. н. для функционала:

Лит.:[1] Ноldеr О., "Nachr. Gcs. Wiss. Gottingen", 1889, № 2, p. 38-47; [2] Xapди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948: [3] Беккенбах Э., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965. Л. П. Купцов.