Регрессия

η νа ξ, где η, ξ — случайные величины, есть условное математическое ожидание , где f(x,y) — плотность совместного распределения η и ξ. Если среди всех функций g(ξ) найдется такая, которая дает лучшее в смысле метода наименьших квадратов представление другой величины, то это и есть кривая Р. Если мы заранее определим класс функций g(ξ), среди которых будем искать по методу наименьших квадратов наилучшее представление η, то полученные кривые называются кривыми средней квадратичной Р. Для линейной средней квадратичной Р. линия Р. g(ξ) = α + βξ, где α и β — коэффициенты Р., равные соответственно α = m₂ — βm₁,

, где m₁=Eξ, m₂=Eη,σ²₁=Dξ,σ²₂=Dη,

.В случае п случайных величин ξ₁, . . .,ξ_n, имеющих конечные вторые моменты, плоскость средней квадратичной P. ξ₁ относительно ξ₂, ..., ξn есть ξ₁ = β_{12(3,4, ...,n)}ξ₂ + β_{13(2,4,...,n)} ξ₃ + … + β_{1n(2,3 ...,n-1)}ξ_n, где β_ik(1,₂,₃,...,_n) — коэф. Р., равный , Λ_ik — алгебраическое дополнение элемента λ_ik в определителе Λ = |λ_ik|, λ_ik = E(ξ_i — Eξ_i) (ξ_k — Eξ_k). Аналогично определяется плоскость средней квадратичной Р. для любой другой случайной величины ξ_i относительно ξ_i, . . ., ξ_i-1, ξ_i+1, . . ., ξ_n. Если g(ξ) — нелинейная функция ξ = (ξ₁, ..., ξ_n), то поверхность Р. имеет более сложный вид, чем плоскость. Уравнения Р. используются во всех случаях, когда по значениям одной или нескольких величин нужно предсказать условное среднее другой величины (напр., в минералогии по оптическим константам — состав м-ла). Одномерные Р., отнесенные к координатам, получили название временного тренда, двумерные Р. от географических координат — название площадного тренда (см. Тренд-анализ), широко распространенного в практике геол. работ.