МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Ее еще называют символической логикой. М. л. - это та же самая Аристотелева силлогистическая логика, но только громоздкие словесные выводы заменены в ней математической символикой. Этим достигается, во-первых, краткость, во-вторых, ясность, в-третьих, точность. Приведем пример. Известный силлогизм. Большая посылка: "Все люди смертны". Малая посылка: "Сократ - человек". И вывод: "Следовательно, Сократ смертен". Мы можем заменить имена "Сократ", "человек" и свойство "быть смертным" буквами, соответственно С, х и у. Слово "все" называется квантором всеобщности - о нем мы скажем ниже. Оно обозначается так называемой гротесковой перевернутой буквой А: У. Итак, запишем символически большую посылку: У(х)(у), то есть для всех индивидов х соблюдается свойство у - все люди смертны. Теперь запишем символически малую посылку С(х), то есть индивид С обладает свойством х, - Сократ - человек. И вывод: С(у), то есть индивид обладает свойством у. Сократ смертен. Теперь запишем весь силлогизм в виде импликации (логического следования): У(х)(у) а С(х) -> С(у) То есть, "если все люди смертны и Сократ человек, то Сократ смертен". Если записывать словами, то надо использовать более 60 символов (букв), а если символически, то нужно всего 12 символов, в 5 раз меньше. Если нужно решать сложную задачу, экономия становится очевидной. Так или иначе, но только в конце ХIХ в. немецкий логик Готтлоб Фреге сформулировал символическое исчисление, и лишь в начале XХ в. Бертран Рассел и Альфред Уайтхед в трехтомном труде "Principia Mathematica" построили стройную систему М. л. В М. л. два типа символов - переменные, которые обозначают объекты, свойства и отношения; и связи, символизирующие логические отношения между предметами и высказываниями. Для наших целей достаточно различать следующие связки: а - конъюнкция, соединение; читается как союз "и", во многом соответствует ему по смыслу; У - дизъюнкция, разделение; читается как союз "или"; -> - импликация, следование; "если... то..."; МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - отрицание; "неверно, что..."; = - эквивалентность; "то же, что и..." В основе любой логической системы лежат несколько недоказуемых очевидных аксиом, так называемых законов логики. В обычной двузначной логике, то есть в такой логике, высказывания которой имеют два значения (истина и ложь), выделяют четыре основных закона. 1. Закон тождества: р = р; то есть любое высказывание эквивалентно самому себе. Тождество объекта самому себе - вообще исходное начало для любого мышления. Но не во всякой логике это является законом. Например, в контексте алетических модальностей (см. МОДАЛЬНОСТИ) мы можем сказать: "Возможно, что дождь идет" и "Возможно, что дождь не идет" – и это не будет противоречием. В обычной логике пропозиций предложения "Идет дождь" и "Не идет дождь" будут противоречиями. 2. Закон двойного отрицания: р = МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАр; то есть утверждение эквивалентно его двойному отрицанию. "Дождь идет" = "Наверно, что Дождь не идет". 3. Закон исключенного третьего: (р У МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАр); то есть либо высказывание истинно, либо оно ложно - третьего не дано (применимость закона исключенного третьего ограничена конечными множества объектов; (см. МНОГОЗАДАЧНЫЕ ЛОГИКИ)). 4. Закон противоречия: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА(р а МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАр); то есть неверно, что высказывание может быть одновременно истинным и ложным. Следует ввести еще два понятия, одно из которых мы уже ввели в самом начале статьи. До сих пор мы говорили о высказывании как о чем-то нерасчлененном, но у высказывания есть субъект и предикат. Часть М. л., занимающаяся отношениями между субъектом и предикатом высказываний, называется теорией квантификации. Свойство или отношение, которое выражает предикат, может быть присуще всем субъектам данного множества или только некоторым из них. Например, высказывание "Собаки бывают черными" означает, что некоторое количество собак из всего множества собак имеет свойство "быть черным". Символ, на который мы заменим слово "некоторые", называется квантором существования, или экзистенциальным квантором, и обозначается гротесковой обращенной буквой Е - 3 3 (х)(у) - некоторые собаки черные. Но существуют свойства, характерные для всех собак. Например, у всех собак (разумеется, живых) есть голова. Символ, на который мы поменяем слово "все", это уже известный нам квантор всеобщности, или универсальный квантор: У(х)(у) - все собаки по природе обладают головой. В заключение сформулируем основной закон квантифицированной логики: У(х)(у) -> 3 (х,у) То есть если данным свойством обладают все объекты, то им обладают и некоторые объекты. Кажущаяся тривиальность законов логики оправдывается дальнейшим ходом мышления. Как писал Людвиг Витгенштейн, "Если вы знаете, что у вас есть руки, дальнейшее гарантируется". О том, как М. л. связана с внешним миром, (см. ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА).

Словарь культуры XX века. .


.

Синонимы:

Смотреть что такое "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА" в других словарях:

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение… …   Философская энциклопедия

  • математическая логика —         ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ, математическая логика, теоретическая логика область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «Л. с.» был, по видимому, впервые… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика, дедуктивная логика, использующая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений …   Современная энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — (символическая логика), аналитический раздел логики, результат применения математических методов к проблемам классической логики. Рассматривает понятия, которые могут быть истинными или ложными, связь между понятиями и оперирование ими, включая… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19 20 ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями.… …   Новейший философский словарь

  • математическая логика — сущ., кол во синонимов: 1 • логистика (9) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • математическая логика — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN mathematical logic …   Справочник технического переводчика

  • Математическая логика — (теоретическая логика, символическая логика)  раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.»[1] Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая… …   Википедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — теоретическая логика, символическая логика, раздел математики, посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики. Исторический очерк. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе… …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Математическая логика, Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. В книге изложены основные классические исчисления математической логики: исчисление высказываний и исчисление предикатов; имеется краткое изложение основных понятий теории множеств и теории… Подробнее  Купить за 927 руб
  • Математическая логика, Ершов Ю.Л.. В книге изложены основные классические исчисления математической логики: исчисление высказываний и исчисление предикатов; имеется краткое изложение основных понятий теории множеств и теории… Подробнее  Купить за 841 руб
  • Математическая логика, Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. Учебное пособие состоит из двух частей - курса лекций по математической логике, включающего теоретический материал по ряду разделов: алгебра логики, исчисление высказываний, логика… Подробнее  Купить за 413 руб
Другие книги по запросу «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.