Ляпунов, Александр Михайлович

— профессор Харьковского университета по кафедре механики; род. в 1857 г.; образование получил в в СПб. университете. В 1885 г. защитил диссертацию ("Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости") на степень магистра прикладной математики и в том же году назначен приват-доцентом в Харьковский университет. Кроме того, Л. напечатал: "Общая задача об устойчивости движения" (Харьков, 1882, докторская диссертация), "О теле наибольшего потенциала" ("Сообщения Харьковского математического общества", т. II, 1886), "О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости" (там же, т. I, 1890) и др.

{Брокгауз}

Ляпунов, Александр Михайлович

[25 мая (6 июня) 1857 — 3 ноября 1918] — рус. математик и механик, акад. (с 1901, чл.-корр. с 1900). Сын М. В. Ляпунова (см.). Ученик П. Л. Чебышева (см.), крупнейший представитель созданной Чебышевым Петербург. математич. школы. В 1880 Л. окончил Петербург. ун-т. С 1885— доцент и с 1892 — проф. Харьков. ун-та; с 1902 работал в Петербурге.

Л. создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механич. систем, определяемых конечным числом параметров. С математич. стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных ур-ний при стремлении независимого переменного к бесконечности. Устойчивость определялась Л. по отношению к возмущениям начальных данных движения. До работ Л. вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, т. е. путем отбрасывания всех нелинейных членов ур-ний, причем не выяснялась законность такой линеаризации ур-ний движения. Выдающейся заслугой Л. является построение общего метода для решения задач об устойчивости. Осн. трудом в этой области до сих пор является докторская дисс. Л. "Общая задача об устойчивости движения" (1892). В работе дается строгое определение осн. понятий теории устойчивости, указываются случаи, когда рассмотрение линейных ур-ний первого приближения дает решение вопроса об устойчивости и подробное исследование нек-рых важных случаев, когда первое приближение не дает решения вопроса об устойчивости. Диссертация и последующие работы Л. в рассматриваемой области содержат целый ряд фундаментальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных ур-ний как линейных, так и нелинейных. Среди этих результатов наиболее важными являются: решение вопроса о существовании периодич. решений нек-рого класса систем нелинейных дифференциальных ур-ний и эффективное построение таких решений, а также выяснение качественной картины поведения интегральных кривых ур-ний движения вблизи положения равновесия. Все работы по теории устойчивости движения отечественных и зарубежных ученых, выполненные после Л., основаны на его идеях и методах.

Большой цикл исследований Л. посвящен теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы к-рой взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения. Этими вопросами до Л. занимались И. Ньютон, А. Клеро, П. Лаплас, Ж. Лагранж, К. Якоби, Ж. Лиувилль и др.; ими были установлены для однородной жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Л. впервые доказал существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным. Он установил, что от нек-рых эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо неоднородной жидкости. Л. разрешил также задачу, предложенную ему еще в начале его научной деятельности П. Л. Чебышевым о возможности ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей возможной для эллипсоидов угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия. Ответ получился отрицательным. Л. впервые строго доказал существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости при весьма общих предположениях об изменении плотности с глубиной. Этой задачей занимался Клеро (1743), но он заранее предполагал, что поверхности одинаковой плотности суть эллипсоиды вращения; по самой постановке задачи он не мог проводить исследования дальше первого приближения. Исследования Лапласа в этой области не были свободны от ошибок. Л. во всех случаях не только доказывал существование соответствующих фигур равновесия, но и давал эффективный способ построения ур-ния этих поверхностей. Кроме установления новых фигур равновесия вращающейся жидкости, Л. занимался исследованием устойчивости как эллипсоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая однородной жидкости. Сама постановка вопроса об устойчивости для сплошной среды (жидкость) до работ Л. была неясной. Он впервые строго поставил вопрос и с помощью тонкого математич. анализа провел исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал неустойчивость т. н. грушевидных фигур равновесия и тем самым опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина. Цикл работ Л. по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур занимает центр. место во всей теории фигур равновесия. Кроме работ Л., по этому вопросу до настоящего времени получено очень мало результатов.

Небольшим по объему, но весьма важным для дальнейшего развития науки был цикл работ Л. по нек-рым вопросам математич. физики. Среди работ этого цикла осн. значение имеет его труд "О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле" (1898). Эта работа основана на исследовании свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределенных по нек-рой поверхности. Наиболее существенным является исследование т. н. потенциала двойного слоя (случай диполей). Далее Л. получил важные результаты, касающиеся поведения производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на к-рой задано граничное условие. На этой основе им впервые были доказаны симметрия функции Грина для задачи Дирихле и формула, дающая решение этой задачи в виде интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие, на нормальную производную функции Грина. При всех этих условиях Л. налагает на граничную поверхность нек-рые ограничения; поверхности, удовлетворяющие им, называются теперь поверхностями Л.

В теории вероятностей Л. предложил новый метод исследования (метод "характеристических функций"), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, Л. доказал т. н. центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники. В целом ряде работ Л. содержится большое число принципиально новых понятий математич. анализа. Язык и рассуждения Л. отличаются большой точностью, и высказываемое мнение о трудности чтения его работ очень часто объясняется только особой трудностью рассматриваемых проблем. Все исследования Л. являются источником новых работ во многих направлениях математики.

Соч.: Общая задача об устойчивости движения, М.—Л., 1950; Избранные труды, под ред. акад. В. И. Смирнова, Л., 1948 (имеется библиография трудов Л. и литературы о нем); Собрание сочинений, т. 1—2, М.—Л., 1954—56.

Лит.: Материалы для биографического словаря действительных членов Академии наук, ч. 1, П., 1915 (Имп. Академия наук 1889—1914, т. 3); Ляпунов Б. М., Краткий очерк жизни и деятельности А. М. Ляпунова, Л., 1930; Четаев Н. Г., Александр Михайлович Ляпунов (1857— 1918), в кн.: Люди русской науки, под ред. и с предисл. акад. С. И. Вавилова, т. 1, М.—Л., 1948; Александр Михайлович Ляпунов. Библиография, сост. А. М. Лукомская, под ред. акад. В. И. Смирнова, М.—Л., 1953.

Ляпунов, Александр Михайлович

(6.6.1857—3.11.1918) — русский математик и механик. Выдающийся представитель петерб. матем. школы, созданной П. Л. Чебышевым. Акад. Петерб. АН (1901). Род. в Ярославле. В 1876 поступил на естественное отд. физико-матем. ф-та Петерб. ун-та, где в это время работали Д. И. Менделеев, П. Л. Чебышев, Д. К. Бобылев, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев и др. выдающиеся ученые. Лекции П. Л. Чебышева произвели на Л. такое впечатление, что через месяц он перешел с естественного на матем. отд. На 4-м курсе ун-та был награжден зол. медалью за развитие предложенной ф-том темы "О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях". В 1880 блестяще окончил ун-т, и был оставлен на кафедре механики для подготовки к проф. званию. Успешно защитив диссертацию на степень магистра прикладной математики на тему "Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости", перешел в Харьков. ун-т. В 1888—92 — опубл. ряд статей, посвященных решению задачи об устойчивости движения материальных систем, к-рая сводится к иссл. системы дифференциальных ур-ний. (Проблема устойчивости движения принадлежит к категории труднейших задач естествознания; ее исследовали мн. выдающиеся математики — от Ж. Лагранжа до А. Пуанкаре.) В работе "Общая задача об устойчивости движения" (1892) Л. предложил новые общие строгие методы решения этих задач. С помощью одного из этих методов, основывающегося на понятии т. н. функции Л., получил важные по своим применениям критерии устойчивости решения.

Методы иссл., предложенные Л., успешно применяются в др. разделах теории дифференциальных ур-ний. Большой вклад внесли работы Л. и в матем. физику, в частности в теорию потенциалов; важное значение имеет его работа "О некоторых вопросах, касающихся проблемы Дирихле" (1898). В 1902 Л. переезжает в Петербург и полностью отдается науч. деятельности. Написал работу о лапласовской и лежандровской гидростатической теории фигур планет. В 1905 вновь обратился к проблемам фигур равновесия однородной жидкости, образуемых под влиянием равномерного вращения ее вокруг неизменной оси. В частности, доказал неустойчивость т. н. грушевидных фигур и тем самым опроверг противоположное утверждение англ. астронома Дж. Дарвина. В теории вероятностей Л. дал простое и строгое доказательство центр. предельной теоремы в более общей форме, чем П. Л. Чебышев и А. А. Марков. Для доказательства своей теоремы Л. разработал оригинальный и чрезвычайно плодотворный метод характеристических функций, к-рый широко применяется в совр. теории вероятностей. АН СССР учредила зол. медаль им. А. М. Ляпунова за выдающиеся работы в области математики и механики. Именем Л. назван кратер краевой зоны Луны. Чл. Нац. академии деи Линчеи в Риме, чл.-кор. Париж. АН и др. академий и науч. об-в.