- Конечных разностей исчисление
-
раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:Δyk ≡ Δf (xk) = f (xk+1) - f (xk)(разности 1-го порядка),Δ2yk ≡ Δ2f (xk) = Δf (xk+1)- Δf (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)(разности 2-го порядка),Δnyk ≡ Δnf (xk) = Δn-1f (xk+1) - Δn-1f (xk)(разности n-го порядка).Соответственно, конечные разности «назад» Δnyк определяются равенствамиΔnyк = Δnyк + n.При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δny, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+1l2h, а при чётном n в точках х = xi по формуламδf (xi + 1/2h) ≡ δyi+1/2 = f (xi+1) - f (xi),δ2f (xi) ≡ δ2yi = δyi+1/2,δ2m-1f (xi + 1/2h) ≡ δ2т—1yi+1/2 = δ2т—2yi+1-δ2т—2yi,δ2mf (xi) ≡ δ2туi = δ2т—1yi+1/2 - δ2т—1yi-1/2Они дополняются средними арифметическимигде m = 1,2,...; если m = 0, то полагаютЦентральные разности δny связаны с конечными разностями Δny соотношениямиδ2туi = Δ2туi-m,δ2т+1yi+1/2 = Δ2m+1yi-mЕсли значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам…………………………..……………………Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δnyk = f (n)(где xk≤k+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений видаF [x,(f (x),...,Δnf (x)] = 0 (1)задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в видеФ [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,где a1,..., an — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ1, λ2,... λn его характеристического уравненияλn + a1λn-1+...+an = 0.Тогда общее решение данного уравнения представится в видеf (x) = С1λ1х + C2λ2x +... + Cnλnx,где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ1, λ2,..., λn нет равных).Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.Под редакцией Н. С. Бахвалова.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.