- Исчерпывания метод
-
метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, чтоCn < A; (1)предполагают также известным такое В, чтоCn < В (2)и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенстваК (A — Cn) < D, К (В — Cn) < D, (3)где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенствуА = В (4)достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следуетМатематики древности, не располагавшие теорией Пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B — А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получалиК (В — Cn) > К (В — A) > D,что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C1, C2, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этомВместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,Архимед геометрически доказывает, что при любом nВводя площадьАрхимед получает, чтои, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, чтоРис. к ст. Исчерпывания метод.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.