Асимптотическое выражение

        сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция φ(x) является А. в. для f(x) при х → ∞ (или х → а), если f(x)/φ(x) → 1 при х → ∞ (или х → а), или, что то же самое, если f(x) = φ(x)[1 + α(x)], где α(х) → 0 при х → ∞ (или х → а). В этом случае пишут: f(x) Асимптотическое выражение φ(x) при х → ∞ (или х → а). Как правило, φ(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х → 0 могут служить sinx Асимптотическое выражение x, tgx Асимптотическое выражение x, ctgx Асимптотическое выражение 1/x, 1 - cosx Асимптотическое выражение x²2, ln(1 + x) Асимптотическое выражение x, a^x - 1 Асимптотическое выражение xlna (a > 0, a ≠ 1). Более сложные А. в. при х → ∞ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, π(x) Асимптотическое выражение x/lnх, где π(x) — число простых чисел, не превосходящих х,

        

         где Г(u) — Гамма-функция , для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле (См. Стирлинга формула):

        

         Ещё более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции.

         А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, sin(x + iy) Асимптотическое выражение e^/y//2 при y → ∞ и y → -∞.

         А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

         Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.

         В. И. Левин.