Фазовой плоскости метод

        графоаналитический метод исследования динамических систем (См. Динамическая система), описываемых уравнениями вида:

        

        ,

        

        ,

         где х и у – переменные состояния системы, Р (х, у) и Q (х, у) – функции, удовлетворяющие условиям теорем существования и единственности решений, t – время (независимая переменная). Поведение такой системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамической системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамической системы. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением точки, которую называют фазовой, изображающей или представляющей точкой. Траектория, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией; скорость и направление её движения определяются вектором фазовой скорости {Р, Q}. Существенно, что через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом системы и отображает совокупность всех возможных сочетаний системы и типы возможных движений в ней.

         На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений

         Р (х, у) = 0, Q (х, y) = 0;

        изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе; сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов. Ф. п. м. состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета. Метод позволяет определить число, типы и характер особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис и даёт возможность по виду фазовых траекторий наглядно представить всю совокупность движений, возникающих в динамической системе при всевозможных начальных условиях. Особые точки классифицируют по характеру фазовых траекторий в их окрестности: основные типы особых точек изображены на рис. 1. Изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) классифицируют по характеру их устойчивости (рис. 2).

         В сочетании с аналитическими методами Ф. п. м. позволяет получать количественные оценки решений дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему, например оценивать длительность перехода изображающей точки из одного состояния в другое (т. е. продолжительность переходного процесса), определять период и «амплитуду» периодического движения и т.п. Теоретические основы Ф. п. м. разработаны А. Пуанкаре. Ф. п. м. – один из методов качественой теории динамических систем; он широко используется в теории колебаний, теории автоматического управления, в электротехнике и механике.

         Лит.: Пуанкаре А. О., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. – Л., 1947; Немыцкий В, В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. – Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; Емельянов С. В., Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967; Марчуков Б. А., Проектирование систем управления методами фазовой плоскости, М., 1976.

         С. К. Коровин, Н. Н. Миловидов.

        

        Рис. 1. Фазовые траектории в окрестности особых точек следующих типов: а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — седло; е — центр.

        

        Рис. 2. Фазовые траектории в окрестности различных предельных циклов, изображенных в виде замкнутых кривых; а — устойчивого; б — неустойчивого; в, г — полуустойчивых.