Субгармонические функции

        функции, удовлетворяющие в некоторой области неравенству

        

        .

        В случае, когда Δf = 0, функция f является гармонической функцией (См. Гармонические функции). Понятие С. ф. можно рассматривать как обобщение понятия гармонической функции. При n = 1 условие Δf ≥ 0 принимает вид z = f (x, y), где f (x, у) — С. ф. двух переменных, лежит ниже проходящей через тот же контур поверхности z = F (x, у), где F (x, у) — гармоническая функция (отсюда название «субгармоническая», то есть «подгармоническая»).

         Приведённое выше определение предполагает, что функция f имеет частные производные второго порядка. От этого ограничения освобождаются, непосредственно выражая отмеченное только что свойство графика С. ф. располагаться ниже графика гармонической функции.

         Супергармонические функции (от лат. super — над) — функции, удовлетворяющие неравенству Δf ≤ 0. Если f — супергармоническая функция, то f есть С. ф., и наоборот. Классические примеры С. ф. и супергармонических функций: для n = 2 логарифмический потенциал

        

        и для n = 3 объёмный потенциал

        

        (здесь ρ — плотность масс или зарядов). Функции эти внутри областей G и Т удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона ΔV = — 2πρ и ΔU = — 4πρ и, следовательно, являются супергармоническими при ρ ≥ 0 и С. ф. при ρ < 0.

         С. ф. применяются, например, при решении задач математической физики (в частности, в теории потенциала), теории случайных процессов.

         Лит.: Привалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937.