Приближённое решение

        дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

         П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом (См. Последовательных приближении метод), Ритца и Галёркина методами (См. Ритца и Галёркина методы), Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.

         Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀) = y₀, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀, y₀). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

         y (x) - y (x₀) =

         Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо по формулам:

         A₁ = y’₀ = f (x₀, y₀);

        

        

        либо с помощью неопределенных коэффициентов метода (См. Неопределённых коэффициентов метод). Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х₀.

         Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

         К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

         Поясним эти методы на примере уравнения

         y’’ = f (x, у)

        с начальным условием у (х₀) = y₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х₀ в виде ряда по степеням h = х — х₀ Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.

         Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x₁, x₂,..., x_n некоторого фиксированного отрезка [х₀, b] Так, для того чтобы вычислить у (х₁), где х₁ = х₀ + h, h = (b — x₀)/n, представляют у (х₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х₁ — х₀. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:

        

        Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk_, x_k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h².

         В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:

        

        где

        

        

        

        

        дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵.

         В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), η_i и разностей Δⁱη_j, где

         η_j = hf (x_j, y_j); Δη_j = η_j+1 - η_j;

         Δⁱη_j = Δ^i-1η_j+1 - Δ^i-1η_j.

         Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

        

        даёт решение у (х) в точке x_k с точностью до величин порядка h⁴.

         Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        | Формула                                  | k = 2                   | k = 3                   | k = 4                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | (1 + x)³ ≈ 1 + 3x                        | 0,04                     | 0,012                   | 0,004                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,06                     | 0,022                   | 0,007                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,19                     | 0,062                   | 0,020                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,20                     | 0,065                   | 0,021                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,31 (17°48')         | 0,144 (8°15')         | 0,067 (3°50')       |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,10 (5°43')           | 0,031 (l'48')           | 0,010 (0°34')       |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,25 (14°8')           | 0,112 (6°25')         | 0,053 (3°2')         |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,14                     | 0,47                     | 0,015                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,04                     | 0,014                   | 0,004                 |

        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | | 0,25                     | 0,119                   | 0,055                 |

        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        

        формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

        

        особенно удобную для решения уравнений вида у " = f (x, у). По этой формуле находят Δ²y_n-1, а затем y_n+1 = y_n +Δy_n+1 + Δ²y_n-1. Найдя y_n+1, вычисляют y’’_n+1 = f (x_n+1, y_n+1), находят разности и повторяют процесс далее.

         Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

         Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

         Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

         Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.