Дробь

Если делится какое-нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то могут представиться два случая: или в ряду целых чисел найдется число х, которое этому условию удовлетворит, или же окажется, что такого числа х не существует. Поэтому, если ограничиться рассмотрением совокупности одних целых чисел, то задача деления одного целого числа на другое будет разрешаться только в некоторых частных случаях; вообще же решение ее будет невозможно. Это обстоятельство заставляет ввести в круг нашего рассмотрения новую область чисел — дробей.

Условимся принимать, что каждым двум целым числам а и b соответствует одна дробь, которую и обозначим a/b; целое число а назовем числителем Д. a/b, а число b — знаменателем ее. Условимся две Д. a/b и c/d считать равными только тогда, если можно найти два таких целых числа m и n, чтобы удовлетворились условия: am = cn и bm = dn. Отсюда следует, что am/bm = a/b

На этом основывается первая операция с дробями — сокращение: если числитель и знаменатель Д. a/b имеют общего множителя l, то Д. a/b может быть представлена в виде: a/b = la'/lb' = a'/b'. Д. называется несократимою, если числитель и знаменатель ее не имеют общего множителя. Вместе с тем на основании введенных условий всегда возможно две Д. — а/b и с/d — привести к общему знаменателю и к общему числителю. Условимся считать Д. a/b больше c/d, если по приведении к общему знаменателю N = mb = nd, числитель первой Д. ma будет больше числителя второй nc; и наоборот, пусть a/b < c/d, если ma < nc; равным образом, если Д. a/b и c/d приведены к общему числителю М = m'a = n'c, то Д. c/b = m'a/m'b = M/mb будет больше или меньше Д. c/b = n'c/n'd = M/n'd, смотря по тому, будет число m'b меньше или больше числа n'd. Из этого определения следует, что Д. a/b будет увеличиваться, если ее числитель будет увеличиваться или ее знаменатель будет уменьшаться, и наоборот.

Суммой двух или нескольких Д., имеющих общего знаменателя, назыв. Д., знаменатель которой равен сему общему знаменателю, а числитель — сумме числителей. Чтобы составить сумму нескольких Д., имеющих различные знаменатели, надлежит привести их к общему знаменателю. Из этого определения вытекает, что сумма Д. не зависит от порядка сложения Д., что сумма более каждого слагаемого и т. д. Вычитание Д. определяется как действие, коим по заданной сумме двух Д. и одному из слагаемых требуется определить другое слагаемое.

Произведением двух дробей a/b и c/d наз. дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Из этого определения следует, между прочим, что произведение не зависит от порядка множителей, что произведение увеличивается или уменьшается с увеличением или уменьшением одного из множителей и т. д. Разумея под частным двух Д. a/b и c/d Д. x, удовлетворяющую условию (c/d)x = a/b, сейчас же убеждаемся, что деление дроби на Д. всегда возможно, т. е. действительно дает Д. х = ad/bc.

Так как всякое целое число N может быть рассматриваемо как Д. N/1, то деление целого числа на целое в области дробей всегда возможно; намеченная обобщением понятия целого числа цель оказывается достигнутой. Иногда рассматривают Д. как меру частей целого. Такое рассмотрение основывается на следствиях, вытекающих из приведенных выше определений суммы и произведения дробей: Д. ¹/m, взятая слагаемым m раз, дает единицу; равным образом произведение ¹/m на m дает также единицу; поэтому Д. — может быть принята за меру одной m^-ой части единицы, а Д. n/m — за меру n m^-ых частей ее. В этом смысле умножение какого-нибудь числа А на Д. n/m есть взятие n m^-ых частей этого числа, а деление А на n/m есть отыскание числа, n m^-ых частей которого равны А.

Д. назыв. правильною, если числитель ее меньше знаменателя; Д. называется неправильною, если, наоборот, числитель больше знаменателя; так, ³/₇ есть правильная, а ⁷/₃ неправильная Д.; если неправильная Д. представлена в виде суммы целого числа и правильной Д., то такая Д. наз. смешанной Д., или смешанным числом: напр. 2¹/₃ = ⁷/₃ есть смешанное число.

Десятичною наз. Д., знаменатель которой есть десять или степень десяти; напр. 37/1000 = 37/10³ есть десятичная Д. Десятичные Д. обыкновенно представляют иначе, пользуясь тем принципом, на котором основано изображение многозначных целых чисел (т. е. что цифра, стоящая вправо, в десять раз меньше цифры, стоящей влево от первой) и распространяя это условие на части единицы. На этом основании, напр., Д. 377/1000 = 3/10 + 7/100 + 7/1000 изображается 0,377 — где запятая означает, что стоящие вправо от нее цифры соответствуют частям единицы. Такое обозначение значительно упрощает все действия над десятичными дробями. Обыкновенная Д. может быть обращена в десятичную тогда и только тогда, если по приведении ее к несократимому виду знаменатель ее будет заключать множителями только 2 и 5, т. е. будет вида 2^m x 5ⁿ. Наоборот, если знаменатель дроби a/b по приведении к несократимому виду будет содержать другие, кроме 2 и 5, множители, то обыкновенная Д. не может быть обращена в десятичную. С другой стороны, всегда возможно найти такую десятичную Д., чтобы разность между заданной обыкновенной Д. a/b и десятичной была менее всякой произвольно взятой величины ε. Пусть, напр., ε = 1/10^m ; чтобы найти десятичную Д., удовлетворяющую условию a/b > d/₁₀^m и a/b < d+1/10^m, надо разделить 10^ma на b; пусть 10^ma = bd + ε, где остаток ε < b; в таком случае очевидно 10^ma > bd и 10^ma < bd+b=b(d+1).

Если нужно найти такую десятичную Д., чтобы разность между a/b и этой дробью была меньше 1/10ⁿ, где n > m, то достаточно разделить 10ⁿа на b, т. е. продолжить указанное вычисление еще на несколько знаков; таким образом новая Д. будет заключать в первых m разрядах те же цифры, что и ранее найденная; увеличение степени приближения не изменяет уже найденных при меньшем приближении цифр соответствующей десятичной Д. Если показатель m в 1/10^m (степени приближения десятичной дроби к заданной обыкновенной) достаточно велик, то десятичная Д. будет заключать в своем выражении периодическое повторение цифр; напр., если m = 12, то соответствующая ¹/₇ десятичная Д. 1,142857142857.

Разность между обыкновенной Д. a/b и соответствующей ей десятичной, в которой увеличиваем число периодов, уменьшается и при достаточном повторении периода может быть сделана менее всякой наперед заданной величины. В этом смысле говорят, что всякая обыкновенная Д., которая не может быть обращена в конечную десятичную Д., обращается в бесконечную периодическую Д. и в этом смысле пишут напр. ¹/₇ = 0,142857... или ¹/₇ = 0,(142857).

Периодические Д. бывают простые (чистые) и смешанные. Простыми периодическими Д. наз. те, у коих период начинается с первой после запятой цифры; смешанными же наз. те Д., перед началом периода коих встречаются другие цифры, в период не входящие. Простая периодическая Д. получается от обращения обыкновенной Д., у которой в знаменатель не входят совсем множители 2 и 5. Обратно, если знаменатель обыкновенной., по приведении ее к несократимому виду заключает множителей 2 или 5, то соответствующая периодическая Д. будет смешанною.

Нахождение по заданной периодической дроби той обыкновенной дроби, которой она соответствует, производится по следующим правилам: для обращения чистой (простой) периодической дроби надо период разделить на число, в котором цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде. Чтобы найти соответствующую смешанной периодической Д. обыкновенную, нужно числитель последней положить равным разности чисел, взятых до 2-го и 1-го периода данной Д., а в знаменателе повторить цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и приписать справа. столько нулей, сколько цифр до периода.

Алгебрическою Д. называется выражение вида a/b, где под а и b разумеются какие угодно величины.

Д. показатели — см. Показатель.

Д. дифференцирование — см. Интегральное исчисление.

Непрерывные Д. Непрерывными Д. называются выражения вида

Если числа а, b, с,.... l, m — целые и положительные, то непрер. Д. называется арифметическою; если же это какие угодно величины — то алгебраическою.

Создателем исчисления непрерывных Д. является знаменитый голландский математик Гюйгенс (Huyghens); до него около половины XVII века одним любителем математики, лордом Брункером, была дана без доказательства и без указаний на свойства непрерывных Д. следующая формула для приближенного вычисления отношения одной восьмой части окружности к ее радиусу:

Гюйгенс же, в мемуаре "Descriptio automati planetarii", напечатанном в 1680 г., не только указал на главнейшие свойства непрерывных Д., но и дал весьма остроумное приложение этих свойств к определению числа зубцов на колесах модели планетной системы. Дальнейшее развитие теории непрерывных Д. дано Эйлером и особенно Лагранжем; последнему принадлежит честь введения в анализ алгебраических непр. Д. При помощи свойств этих Д. оказалось возможным решение многих весьма сложных вопросов, к коим неприложимы методы исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений); поэтому применение теории алгебраических непрерывных Д. к различным вопросам анализа послужило предметом замечательных по остроумию методов и по достигнутым результатам мемуаров ряда ученых с Гауссом и Чебышевым во главе. Для истории русской математической литературы эта теория имеет тем больший интерес, что наиболе существенные результаты (после Лагранжа и Гаусса) достигнуты в ней известным русским математиком П. Л. Чебышевым и его учениками.

Разложение обыкновенных Д. в непрерывные. Пусть дана обыкновенная несократимая Д. a/b; если поступать с числами а и b как поступают при отыскании общего наибольшего их делителя последовательным делением (см. Деление), то получится такой ряд равенств:

Здесь все числа q и r положительны; при этом b> r₁,> r₂ >... > r_n-1; поэтому мы дойдем непременно до остатка r_n, равного нулю. На основании уравнений (I) для a/b получается конечная непрерывная Д.:

Числа q₁, q₂, q₃,... q_k,... q_n называются первым, вторым, третьем, k^-ым, n^-ым неполными частными непрерывной Д. a/b; числа b/r₁, r₁/r₂,... r_n—2/r_n—1, которые в дальнейшем будут обозначаться через p₁, p₂,... p_n—1 называются первым, вторым, третьим,... n—1^-ым полными частными непр. Д.

Обыкновениые Д.

называются первою, второю, третьей и т. д. подходящими дробями к a/b. Не трудно видеть, что Д. a/b больше первой, третьей, вообще нечетной подходящей Д., и меньше второй, четвертой, вообще четных подходящях дробей.

Д. a/b всегда заключается между двумя подходящими дробями.

Обозначим числителя и знаменателя k^-той подходящей к a/b Д. через Р_k и Q_k. В таком случае:

числитель k^-той подходящей Д. равен произведению числителя k — 1 подходящей Д. на k^-тое неполное частное, сложенному с числителем k — 2^-ой подходящей Д.; а знаменатель k^-ой подходящей Д. равен произведению знаменателя k—1^-ой Д. на k^-тое неполное частное, сложенному с знаменателем k—2^-ой подходящей Д.

и Б)

Для доказательства положений достаточно проверить их справедливость для первых подходящих дробей и затем убедиться, что если правило справедливо для некоторого значка а, то оно будет справедливо и при k+1. Из этих формул вытекают такие следствия:

1) Все числа Р_k и Q_k положительны и притом

P_n>P_n—1>... >P_k>... P₂>P₁

Q_n>Q_n—1>... >Q_k>... >Q₁

2) Разность двух подходящих дробей по численной величине равна единице, деленной на произведение знаменателей этих дробей, т. е.

3) Разность P_n/Q_n — a/b

по численной величине менее

1/(Q_n Q_n+1) или 1/Q_n²

4) Каждая последующая подходящая Д. более приближается к величине a/b, чем предшествующая.

и 5) Подходящая Д. более приближается к значению Д. a/b, чем всякая другая Д., знаменатель которой меньше знаменателя подходящей дроби.

Простейшее приложение непрерывных дробей — решение в целых числах неопределенного уравнения:

ах — by = с, (**)

где а, b, с — числа целые, положительные, причем а и е взаимно простые. Пусть a/b разлагается в непрерывную Д. (*), так что

Если n — число нечетное, то надо взять при единице знак —, и в таком случае очевидно

х = с (b — Q_n—1), y = c (a — P_n—1)

будут решениями ур-ния (*); если n четное, то надо взять при единице знак +, и тогда

x = cQ_n—1, у = сР_n—1

будут решениями ур-ния (**). Все прочие решения найдутся из формул х+bk, y+ak, давая k значения целые между —∞ и +∞; решения ур-ния ах + by = c найдутся по тому же приему, по замене у на —у₁

Разложения иррациональных чисел в непрерывные Д.: пусть А — число иррациональное и пусть q₁ есть целое число, ближайшее к А и меньше A; положим A = q₁+ ¹/a₁; число а₁> о и также иррациональное (иначе А было бы рациональное); пусть q₂ есть целое число, ближайшее к а₁ и меньшее а₁; положим а₁ = q₂ + ¹/a₂; поступая таким же образом с а₂, a₃... и т. д., мы получим ряд равенств

откуда находим для А такую непрер. Д.

Если через P_k/Q_k обозначить k^-тую подходящую Д. этой непрерывной Д., то при k четном A < P_k/Q_k, при к нечетном А > P_k/Q_k и т. д.; вообще все указанные выше теоремы будут совершенно применимы и здесь. Можно еще доказать, что при достаточно большом n разность между А и P_n/Q_n по численной величине может быть сделана менее всякой наперед заданной величины ε. В самом деле, по численной величине

поэтому, если

то эта разность действительно меньше ε; но числа Q₁ = q₁, Q₂,... Q_n — числа целые и возрастающие; поэтому при достаточно большом n Q_n может быть сделано больше всякой наперед заданной величины, следовательно и больше 1/√ε; теорема таким образом будет доказана; на основании этой теоремы говорят, что всякое иррациональное число А может быть обращено в бесконечную непрерывную Д, и обозначают засим

Если число А удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными (целыми или дробными) коэффициентами, т. е. если аА² + bA + с = 0 (a, b и с — числа рациональные), то соответствующая бесконечная непрерывная Д. будет периодическою, и наоборот.

С. Савич.