Декартовы овалы

кривые четвертого порядка, состоящие из двух замкнутых частей, имеющих общую ось симметрии и три фокуса на этой оси, один внешний F₂ и два F₁ и F, находящихся внутри внутреннего овала.

Если означить через С₂ расстояние между F и F₁, через с — расстояние между F₁ и F₂, через С₁ — расстояние между F и F₂, через r₁ r₂ и r₂ расстояния какой-либо точки до фокусов F, F₁, F₂, то уравнения овалов могут быть выражены трояким образом: 1) внутреннего: mr+lr₁=nc₂, внешнего mr-lr₁=nc₂, или 2) внутреннего nr+lr₂=mc₁, внешнего nr-lr₂=mc₁, или 3) внутреннего mr₂ — nr₁=lc, внешнего nr₁ — mr₂=lc, здесь m, n, l суть три отвлеченные количества, свойственные каждой паре овалов.

Кривые эти обладают следующим свойством: отношение синусов углов, составляемых радиусами-векторами, проведенными из фокусов к точке кривой, с нормалью

имеет постоянную величину для всей кривой; напр. для наружного овала:

[sin(F₂Mn)/sin(F₁Mn)] = n/m;

поэтому если наружный овал будет меридиональным сечением поверхности вращения, ограничивающей снаружи прозрачное вещество с показателем преломления n/m, а со стороны Х на поверхность будет падать пучок лучей, направляющихся к точке F₂, то эти лучи по преломлении соберутся внутри вещества в точке F₁. Декарт, открывший эти кривые, задался именно этим свойством их, имея в виду строить оптические стекла, ограниченные этими овалами. Полная литература, относящаяся к Декартовым овалам, собрана проф. Лигиным и помещена в "Bulletin des sciences mathem. et astronom.", 2-е Série t. VI, 1882.

Д. Б.