Гомография

между точками, лежащими на двух прямых, а также между прямыми линиями, проходящими через две точки, можно установить такое однозначное соответствие, что каждой точке одной прямой будет соответствовать одна вполне определенная точка другой, а также в другом случае — прямой линии, принадлежащей к пучку прямых линий, проходящих через первую точку, будет соответствовать вполне определенная прямая пучка, проходящего через другую точку. Такое соответствие двух прямолинейных рядов точек, а также двух пучков называется гомографическим, или проективным. В каждом прямолинейном ряде точек можно поставить определение каждой точки в зависимости от указания численного значения некоторого переменного параметра λ. За этот переменный параметр может быть принято, например, расстояние переменной точки ряда от некоторой определенной точки, принимаемой за начало счета расстояний, причем расстояния эти считаются положительными в одну сторону от начала и отрицательными в другую. В другом прямолинейном ряду точек положение точки может быть определено заданием другого параметра μ. Для того, чтобы между двумя указанными рядами, определяемыми параметрами λ и μ, существовала гомографическая зависимость, необходимо, чтобы между этими параметрами была зависимость первой степени относительно каждого из них. Такая зависимость в самом общем виде может быть выражена уравнением:

Aλμ + Bλ + Cμ + D = 0.

Это уравнение содержит четыре коэффициента А, В, С, D, или, точнее, три отношения трех из числа этих коэффициентов к четвертому, а потому гомографическая зависимость, выражаемая уравнением, определится вполне заданиеμ трех пар соответствующих элементов (λ₁, μ₁) (λ₂, μ₂) (λ ₃, μ₃), тогда каждой четвертой точке λ₄ будет соответствовать вполне определенное μ₄. Покажем зависимость между четырьмя парами соответственных элементов двух родов.

Получаются четыре уравнения:

Aλμ₁ + Вλ₁ + Сμ₁ + D = 0

Аλ₂μ₂ + Вλ₂ + Сμ₂ + D = 0

Аλ₃μ₃ + Вλ₃ + Cμ₃ + D = 0

AX₄μ₄ + Bλ₄ + Cμ₄ + D = 0

Исключая из этих четырех уравнений четыре коэффициента А, В, С, D, получим окончательно зависимость:

[(λ₁- λ₃)/(λ₂ - λ₃)]/[(λ₁- λ₄)/(λ₂ - λ₄)] = [(μ₁ - μ₃)/(μ₂ — μ₃)]/[(μ₁ — μ₄)/(μ₂ — μ₄)];

выражение, стоящее в первой части этого уравнения, называется ангармоническим отношением (см. Ангармоническое отношение). Отсюда мы замечаем, что два прямолинейных ряда точек находятся в гомографической зависимости, когда ангармоническое отношение всяких четырех элементов первого ряда равно ангармоническому отношению соответственных элементов второго. То же самое относится и до гомографической зависимости двух пучков прямых линий, а также и до зависимости между рядами точек, с одной стороны, и пучками линий, с другой. Если мы соединим точки прямолинейного ряда с некоторою точкою плоскости, лежащей вне этого ряда, прямыми линиями, то получим пучок линий, гомографически связанный с заданным рядом точек. Г. играет большую роль в новой геометрии (см. Chasles, "Traité de Géométrie supérieure) и может быть распространена на геометрию трех измерений. Особенный интерес представляют гомографические ряды точек, расположенные на одной оси, а также гомографические пучки прямых, имеющие общую вершину. Рассмотрим два ряда точек, лежащих на одной оси, гомографическая зависимость которых определяется уравнением Aλμ + Вλ + Сμ + D = 0. Такие два ряда точек имеют пару двойных точек, определяемых уравнением Ах² + (В + С)х + D = 0. Эти точки могут быть действительными, совпадающими или мнимыми. Если В = С, то получается частный случай Г., называемый инволюцией.

Д. Граве.