Математические знаки

т. е. знаки и сокращения, употребляющиеся в математике.

А. Знаки действий: 1) сложения знак (+) называется плюс (plus — более), 2) вычитание знак его (-) минус (minus — менее); 3) умножения — знак (×) или (·); 4) деление — его знак (:) или горизонтальная черта между делимым и делителем, например, ⁶/₂ читается "на". Знаки (+) и (-) встречаются впервые в рукописях Леонардо да Винчи. Знак умножения (×) ввел впервые Oughtred, в своем "Clavis mathematica" 1631 г.; точкой пользовался еще в 1694 г. Лейбниц, в то время как у Христиана ф. Вольфа она появляется не раньше 1710 г., хотя ее можно найти у Harriot (около 1600). В настоящее время точка, как знак умножения, находится во всеобщем употреблении. Черта, как знак деления, ведет свое начало от зап. арабов и, благодаря Фибоначчи в его "Liber Abaci", получила права гражданства в Италии, а двоеточие (:) введено впервые Лейбницем; 5) возвышение в степень: степенные количества а², а³, а⁴, аⁿ читаются а во второй (степени), или а в квадрате, а в третьей, или а в кубе, а в четвертой, а в степени n, с 1634 г.; 6) логарифмирование: log a, lg а, в новейшее время lg обозначают (десятичный) логарифм a, la натуральный; пит log a (numerus logarithmi a) — число, логарифм которого равен а; 7) бесконечное дифференциальное и интегральное счисление: знаком дифференцирования служит поставленное впереди а, так, dx обозначает дифференциал (или дифференциальное изменение) х, а знаком интегрирования является удлиненное S (summa) — ∫; оба введены Лейбницем в 1675 г Знак д для частных дифференциалов (partielle Differentiation) введен Якоби в 1842 г. Обозначение φ'(x) для производной dφ(х); dx является у Лагранжа впервые в его "Nouvelle méthode" (1770 году), и входит во всеобщее употребление, благодаря его "Theorie des functions"; 8) извлечение корня, знак √ (первая буква слова racine) является первоначально в "Coss" Рудольфа ф. Яуер (Rudolff v. Jauer) 1525 г.

В. Знаки соотношений: I) знак равенства (=) введен после 1552 г., так как "никакие две вещи не могут быть более равны, чем две параллельные линии равной длины". В пропорциях англичане всегда, а немцы довольно часто вместо (=) пользуются знаком (::) Знаки неравенства > более, < менее пущены в ход Гарриетом в 1600 г.; , а больше, равно или меньше b, затем а ≠ b, а не равно b, Христофелем (Christoifel). Скобки ( ), или [ ], или { } обозначают соединение заключенных в скобки величин в одно целое количество; встречаются они впервые у Жирара, в 1629 году, тогда как у Виета с этой целью употребляется только проведенная над соединяемыми количествами черта, сохранившаяся и до настоящего времени и употребительная главным образом в соединении со знаком √, напр. . Сюда же принадлежат и проставляемые впереди знаки + и —, для положительных и отрицательных количеств.

С. Знаки функций (Functionszeichen): первые принял Лейбниц из астрономии, как , ♀ и т. д., φ(x) воспользовался впервые в 1718 г. Яков Бернулли, затем Клеро в 1733 г., φ(х), f(x) читается: функция (от) х; напротив у₀ = f(х) должно обозначать, что у₀ есть значение, которое принимает функция, если в ней независимой переменной (variabel) x дать значение х₀; у Эйлера также φ, F, Ψ, ψ и т. д. Отдельные знаки функций чрезвычайно многочисленны, и самые важные из них те, которые употребляются для обозначения тригонометрических функций: sin x (не sin. x) или sn х; cos x; tang x, еще чаще tg х; cot x, et х; cosec х; sin.ver.х; cos.ver.x — для обозначения Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secans, Cosecans, Sinus versus, Cosinus versus x; arc sin u, arctg и и т. д. (arcus sinus, tangens u) дуга в круге с радиусом 1; синус которой или тангенс равен и и т. д.; кроме того, так наз. θ-функции.

D. Сокращения. Для обозначения "бесконечно большого" употребляется ∞; этот знак, употреблявшийся Карданом как знак равенства, был введен в его теперешнем значении Валисом в "Arithmetica infinitorum" (1655); π (пи) для Лудольфова числа (отношения окружности к диаметру) употребил в первый раз Эйлер в 1737 г.; е = 2,71828; i = √(-1) находится у Гаусса в его "Disquisitinnes"; lim вм. limite — предел (лимит), предельное значение, например

для выражения: е есть предельное значение, которое принимает (1+1/n)ⁿ, если n величина бесконечно большая, а для обозначения абсолютного значения или модуля числа а введено Вейерштрассом; n для обозначения неопределенного члена, напр. 1. 2. 3... n, для чего теперь часто говорят П (n), п_k или читается k под n (Abel) или n над k (наследие Эйлера), для числитель этой дроби может быть целесообразно изображен [n|k], читается: n рядом с k.

Математические обозначения. В геометрии уже со времен Гиппарха, 440 г. до Р. Хр., принято обозначать точки (большими) буквами; AB есть расстояние между A и B; - стрелка обозначает направление от А к В, — прямая, в которой AB представляют часть ее протяжения; Ð ABC обозначает угол, вершина которого лежит в точке В, а стороны (бедра) идут через точки А и С, или ì AB обозначают дугу от точки А до точки В. Параллельность обозначается двумя параллельными чертами ||; подобие знаком (лежачее S, начальная буква слова sumilis подобный [Лейбниц]); конгруэнция, или совпадение, знаком (равенство и подобие, у Лейбница еще в форме ). Со времени Штейнера расстояния и прямые обозначаются сокращенно одной малой латинскою буквой, а со времени Рейе (Reye) площади обозначаются также одной буквой, только греческой. В немецких школах принято обозначение, которое введено в планиметрии Голлебена и Гервина ("Geometrische Analysis", 2 т., Берл., 1831-32), а в тригонометрии законодателем явился Эйлер, который обозначал сторону, напр. AB, одной буквой c, угол ABC буквой В, Ð ACB буквой С. Буквы для обозначения чисел, в особенности для обозначения неизвестных величин, являются уже у Аристотеля, в обширных размерах у Иордана, а Виета представляет буквенное счисление уже готовым. Употребительное теперь, в случаях нагромождения величин, обозначение с показателями внизу, а₁,a₂,a₃...a_k или x₁.x₂.x₃...x_k ведет свое начало с Лейбница; с того же времени пошло в ход чрезвычайно удобное обозначение суммы, так что, например, вместо u₁+u₂+u₃+...u_k+u_n просто пишут , и подобно тому, позднее "произведение" вместо u₁*u₂...u_х...u_n. Неизвестное в уравнении обычно; обозначается знаком x. В первый раз x, для обозначения неизвестного, употреблен Декартом, в "La Geometrie" 1637 г.; x первоначально не имел никаких преимуществ перед у и z; Декарт выбрал эту букву, так как он (и он первый) постоянные количества обозначал буквами а, b, с..., в противоположность неизвестным, хотя сначала и отдавал предпочтение букве z.