Кривые

Всякая линия, за исключением прямой, называется К. Если через все точки К. можно провести одну общую плоскость, то К. называется плоской. В противном случае К. называется К. двоякой кривизны. К. может быть рассматриваема или как геометрическое место точек, или как путь, пройденный движущейся точкой, или как граница поверхности. По Плюкеру, К. образуется следующим образом: точка движется по прямой, которая в это время вращается около движущейся точки в некоторой плоскости, плоскость же эта вращается около упомянутой прямой. В этом образовании движущаяся точка есть точка К., вращающаяся прямая — касательная, а вращающаяся плоскость — плоскость соприкосновения. В математике особенное внимание обращается на К., определяемые каким-нибудь законом. Закон, определяющий К., выражается уравнением между координатами точки К. Если уравнение, определяющее К., выражено в Декартовых координатах (см.), то порядок уравнения (степень высшего члена уравнения, освобожденного от радикалов над переменными и от переменных в знаменателях) показывает во скольких точках К. пересекается прямой, причем точки пересечения могут быть действительными или мнимыми. Законом образования К. называются свойства ее, достаточные для определения и изучения. Например: геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная, есть эллипс (фиг. 1, табл. I), который может быть выражен уравнением: x²/a²+y²/b²=1.

КРИВЫЕ I.

1) Эллипс и его развертка. 2) Парабола как огибающая ряда окружностей. 3) Равносторонняя гипербола с подошвенной кривой. 4) Циссоида. 5) Декартов лист. 6) Кривые 3-го порядка. 7) Кардиоида как каустическая кривая. 8) Улитки Паскаля. 9) Эллипс с параллельными кривыми. 10) Конхоиды: a) Никомеда, b) круговая. 11) Кривые 4-го порядка. 12) Конфокальные кривые 2-го порядка. 13) Ортогональные траектории (два семейства гипербол). 14) Линии Кассини.

Геометрическое место точек, равно удаленных от некоторой данной точки и от некоторой прямой, есть парабола (фиг. 2), которая может быть выражена уравнением: у²=2рх.

Геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная, есть гипербола (фиг. 3), которая может быть выражена уравнением: x²/a²-y²/b²=1 На фиг. 3-ей изображена также подошвенная К. гиперболы; подошвенной К. данной К. называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные данной К. Некоторые К. удобнее выражаются в каких-либо иных координатах, например — в полярных. Если из какой-либо точки окружности будем проводить секущие и на них, начиная от пересечения с окружностью, будем откладывать одну и ту же длину, то получим ряд точек, образующих улитку Паскаля (фиг. 7 и 8), выражаемую уравнением r = а + bcosφ где: а = длина, откладываемая от окружности, b = диаметр окружности, r и φ — полярные координаты (см. Координаты). Если из какой-либо точки будем проводить прямые, пересекающие данную прямую, и на них, начиная от пересечения с данной прямой, будем откладывать одну и ту же длину, то получим ряд точек, образующих К., называемую конхоидой (фиг. 10 а). Поступая также не с данной прямой, а с данной окружностью, получим круглую конхоиду (фиг. 10b). На фигуре 11-й изображены некоторые К. 4-го порядка. На фигуре 12-й изображена сеть, состоящая из ряда эллипсов и гипербол, имеющих одни и те же фокусы. Такая сеть конфокольных эллипсов и гипербол может служить координатной сетью для определения положения точки. Кривые, уравнения которых содержат тригонометрические функции или высшие трансцендентные функции переменных, называются трансцендентными. К ним относится между прочим: синусоида (фиг. 1, табл. II), выражаемая уравнением: у=sinx.

КРИВЫЕ II.

1) Синусоида. 2) Тангенсоиды. 3) Логарифмика и ценная линия. 4) Обыкновенная циклоида и циклоида, служащая ей разверткой. 5) Растянутая и сжатая циклоиды. 6) Гипоциклоида и эпициклоида. 7) Архимедова спираль. 8) Гиперболическая спираль. 9) Литуус. 10) Логарифмическая спираль. 11) Развертывающая круга. 12) Трактория. 13) Особые точки.

Тангенсоида (фиг. 2, табл. II) выражается уравнением: y =tgx. На фиг. 3-й табл. II изображены две логарифмики, из которых левая выражается уравнением x = mlgy, и цепная линия, выражаемая уравнением у=a/2[l^x/a+l^-x/a] и представляет собою вид тяжелой цепи, подвешенной за концы. На фиг. 4-й табл. II изображена циклоида, описываемая точкой обода колеса, катящегося по плоскости (точнее говоря — точкой окружности, катящейся по прямой). На фиг. 5-й табл. II изображена растянутая циклоида, описываемая точкой колеса, находящейся между ободом и центром, и сжатая циклоида, описываемая точкой, прикрепленной к колесу на расстоянии от центра большем радиуса колеса. На фиг. 6-й изображена эпициклоида, описываемая точкой окружности, катящейся по внешней стороне неподвижной окружности, и гипоциклоида, описываемая точкой окружности катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. На фиг. 7-й изображена Архимедова спираль, имеющая уравнение p = аω. Гиперболическая спираль (фиг. 8) имеет уравнение рω = а. Уравнение спирали логарифмической есть p = а^ω. Точка нити, развертываемой с окружности, на которую она была намотана, описывает развертывающие окружности (фиг. 11). Каждая К., рассматриваемая как развертывающая, имеет свою развертку, то есть такую К., развертывая с которой нить можно описать данную К. Развертка эллипса (фиг. 1, табл. I). Развертка циклоиды есть циклоида (фиг. 4, табл. II). Цепная линия есть развертка трактрисы (трактории) (фиг. 12). На ф. 13 изображены особые точки К.: двойные точки (а, с, d, е, h), в которых К. пересекается сама с собой. Точка с узлом а — крунодольная. Точки возврата b — куспидольная. Точка перегиба f. Важнейшие свойства главнейших К. излагаются в курсах аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Н. Д.